Theorem 2ndcredom 21253

Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcredom	|- ( J e. 2ndc -> J ~<_ RR )

Proof of Theorem 2ndcredom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 21249	. 2 |- ( J e. 2ndc <-> E. x e. TopBases ( x ~<_ om /\ ( topGen ` x ) = J ) )
2		tgdom 20782	. . . . . . 7 |- ( x e. TopBases -> ( topGen ` x ) ~<_ ~P x )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> ( topGen ` x ) ~<_ ~P x )
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> x ~<_ om )
5		nnenom 12779	. . . . . . . . . 10 |- NN ~~ om
6	5	ensymi 8006	. . . . . . . . 9 |- om ~~ NN
7		domentr 8015	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> x ~<_ NN )
8	4, 6, 7	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> x ~<_ NN )
9		pwdom 8112	. . . . . . . 8 |- ( x ~<_ NN -> ~P x ~<_ ~P NN )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> ~P x ~<_ ~P NN )
11		rpnnen 14956	. . . . . . . 8 |- RR ~~ ~P NN
12	11	ensymi 8006	. . . . . . 7 |- ~P NN ~~ RR
13		domentr 8015	. . . . . . 7 |- ( ( ~P x ~<_ ~P NN /\ ~P NN ~~ RR ) -> ~P x ~<_ RR )
14	10, 12, 13	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> ~P x ~<_ RR )
15		domtr 8009	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` x ) ~<_ ~P x /\ ~P x ~<_ RR ) -> ( topGen ` x ) ~<_ RR )
16	3, 14, 15	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> ( topGen ` x ) ~<_ RR )
17		breq1 4656	. . . . 5 |- ( ( topGen ` x ) = J -> ( ( topGen ` x ) ~<_ RR <-> J ~<_ RR ) )
18	16, 17	syl5ibcom 235	. . . 4 |- ( ( x e. TopBases /\ x ~<_ om ) -> ( ( topGen ` x ) = J -> J ~<_ RR ) )
19	18	expimpd 629	. . 3 |- ( x e. TopBases -> ( ( x ~<_ om /\ ( topGen ` x ) = J ) -> J ~<_ RR ) )
20	19	rexlimiv 3027	. 2 |- ( E. x e. TopBases ( x ~<_ om /\ ( topGen ` x ) = J ) -> J ~<_ RR )
21	1, 20	sylbi 207	1 |- ( J e. 2ndc -> J ~<_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   NNcn 11020   topGenctg 16098   TopBasesctb 20749   2ndcc2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by: (None)