Theorem adjlnop 28945

Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjlnop	|- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) e. LinOp )

Proof of Theorem adjlnop

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 28754	. . 3 |- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) e. dom adjh )
2		dmadjop 28747	. . 3 |- ( ( adjh ` T ) e. dom adjh -> ( adjh ` T ) : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) : ~H --> ~H )
4		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> w e. ~H )
5		adjcl 28791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T e. dom adjh /\ y e. ~H ) -> ( ( adjh ` T ) ` y ) e. ~H )
6		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ ( ( adjh ` T ) ` y ) e. ~H ) -> ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H )
7	5, 6	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ ( T e. dom adjh /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H )
8	7	an12s 843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H )
9	8	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H )
10	9	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H )
11		adjcl 28791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. dom adjh /\ z e. ~H ) -> ( ( adjh ` T ) ` z ) e. ~H )
12	11	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( adjh ` T ) ` z ) e. ~H )
13	12	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( adjh ` T ) ` z ) e. ~H )
14		his7 27947	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. ~H /\ ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H /\ ( ( adjh ` T ) ` z ) e. ~H ) -> ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) = ( ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) + ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) = ( ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) + ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
16		adj2 28793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` w ) .ih y ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` y ) ) )
17	16	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih y ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` y ) ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( * ` x ) x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) = ( ( * ` x ) x. ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) )
19		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> x e. CC )
20		dmadjop 28747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. dom adjh -> T : ~H --> ~H )
21	20	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H ) -> ( T ` w ) e. ~H )
22	21	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( T ` w ) e. ~H )
23		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> y e. ~H )
24		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` w ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) = ( ( * ` x ) x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) = ( ( * ` x ) x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
26		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> w e. ~H )
27	5	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( adjh ` T ) ` y ) e. ~H )
28	27	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( adjh ` T ) ` y ) e. ~H )
29		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H /\ ( ( adjh ` T ) ` y ) e. ~H ) -> ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) = ( ( * ` x ) x. ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) )
30	19, 26, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) = ( ( * ` x ) x. ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) )
31	18, 25, 30	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) = ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) )
32	31	3adant3r 1323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) = ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) )
33		adj2 28793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` w ) .ih z ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` z ) ) )
34	33	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih z ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` z ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) + ( ( T ` w ) .ih z ) ) = ( ( w .ih ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) ) + ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
36	21	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( T ` w ) e. ~H )
37		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
39	38	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( x .h y ) e. ~H )
40		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> z e. ~H )
41		his7 27947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T ` w ) e. ~H /\ ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` w ) .ih ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) + ( ( T ` w ) .ih z ) ) )
42	36, 39, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) + ( ( T ` w ) .ih z ) ) )
43		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
44	37, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
45		adj2 28793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( ( T ` w ) .ih ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
46	44, 45	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( T ` w ) .ih ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
47	42, 46	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( ( T ` w ) .ih ( x .h y ) ) + ( ( T ` w ) .ih z ) ) = ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
48	15, 35, 47	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. dom adjh /\ w e. ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
49	48	3com23 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
50	49	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) /\ w e. ~H ) -> ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
51	50	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> A. w e. ~H ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
52		adjcl 28791	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
53	44, 52	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
54		hvaddcl 27869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) e. ~H /\ ( ( adjh ` T ) ` z ) e. ~H ) -> ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) e. ~H )
55	8, 11, 54	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. dom adjh /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ ( T e. dom adjh /\ z e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) e. ~H )
56	55	anandis 873	. . . . . . 7 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) e. ~H )
57		hial2eq2 27964	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H /\ ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) <-> ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
58	53, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( A. w e. ~H ( w .ih ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( w .ih ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) <-> ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
59	51, 58	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( T e. dom adjh /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) )
60	59	exp32 631	. . . 4 |- ( T e. dom adjh -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( z e. ~H -> ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) ) )
61	60	ralrimdv 2968	. . 3 |- ( T e. dom adjh -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> A. z e. ~H ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
62	61	ralrimivv 2970	. 2 |- ( T e. dom adjh -> A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) )
63		ellnop 28717	. 2 |- ( ( adjh ` T ) e. LinOp <-> ( ( adjh ` T ) : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( adjh ` T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( adjh ` T ) ` y ) ) +h ( ( adjh ` T ) ` z ) ) ) )
64	3, 62, 63	sylanbrc 698	1 |- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) e. LinOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   *ccj 13836   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   .ih csp 27779   LinOpclo 27804   adjhcado 27812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-hvsub 27828  df-lnop 28700  df-adjh 28708

This theorem is referenced by:  adjsslnop  28946