Theorem adjsym 28692

Description: Symmetry property of an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjsym	|- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, T, y

Proof of Theorem adjsym

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
2		ax-his1 27939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T ` y ) e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih x ) = ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) )
3	1, 2	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih x ) = ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) )
4	3	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) /\ ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) ) -> ( ( T ` y ) .ih x ) = ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) )
5		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( S ` x ) e. ~H )
6		ax-his1 27939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ~H /\ ( S ` x ) e. ~H ) -> ( y .ih ( S ` x ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) )
7	5, 6	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ~H /\ ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) ) -> ( y .ih ( S ` x ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) )
8	7	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) /\ ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) ) -> ( y .ih ( S ` x ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) )
9	4, 8	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) /\ ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) ) -> ( ( ( T ` y ) .ih x ) = ( y .ih ( S ` x ) ) <-> ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) ) )
10	9	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( T ` y ) .ih x ) = ( y .ih ( S ` x ) ) <-> ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) ) )
11		hicl 27937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( x .ih ( T ` y ) ) e. CC )
12	1, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~H /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( T ` y ) ) e. CC )
13	12	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( T ` y ) ) e. CC )
14		hicl 27937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S ` x ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( S ` x ) .ih y ) e. CC )
15	5, 14	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) /\ y e. ~H ) -> ( ( S ` x ) .ih y ) e. CC )
16	15	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( S ` x ) .ih y ) e. CC )
17		cj11 13902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .ih ( T ` y ) ) e. CC /\ ( ( S ` x ) .ih y ) e. CC ) -> ( ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) <-> ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( * ` ( x .ih ( T ` y ) ) ) = ( * ` ( ( S ` x ) .ih y ) ) <-> ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) ) )
19	10, 18	bitr2d 269	. . . . . . 7 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) <-> ( ( T ` y ) .ih x ) = ( y .ih ( S ` x ) ) ) )
20	19	an4s 869	. . . . . 6 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) <-> ( ( T ` y ) .ih x ) = ( y .ih ( S ` x ) ) ) )
21	20	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ x e. ~H ) /\ y e. ~H ) -> ( ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) <-> ( ( T ` y ) .ih x ) = ( y .ih ( S ` x ) ) ) )
22		eqcom 2629	. . . . 5 |- ( ( ( T ` y ) .ih x ) = ( y .ih ( S ` x ) ) <-> ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) )
23	21, 22	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ x e. ~H ) /\ y e. ~H ) -> ( ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) <-> ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) ) )
24	23	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ x e. ~H ) -> ( A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) <-> A. y e. ~H ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) ) )
25	24	ralbidva 2985	. 2 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) ) )
26		ralcom 3098	. . . 4 |- ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> A. y e. ~H A. x e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( S ` z ) = ( S ` y ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( x .ih ( S ` z ) ) = ( x .ih ( S ` y ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( T ` x ) .ih z ) = ( ( T ` x ) .ih y ) )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) <-> ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )
31	30	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = y -> ( A. x e. ~H ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) <-> A. x e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )
32	31	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. z e. ~H A. x e. ~H ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) <-> A. y e. ~H A. x e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) )
33	26, 32	bitr4i 267	. . 3 |- ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> A. z e. ~H A. x e. ~H ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) )
34		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .ih ( S ` z ) ) = ( y .ih ( S ` z ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( T ` x ) = ( T ` y ) )
36	35	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( T ` x ) .ih z ) = ( ( T ` y ) .ih z ) )
37	34, 36	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) <-> ( y .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) ) )
38	37	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. x e. ~H ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) <-> A. y e. ~H ( y .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) )
39	38	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. z e. ~H A. x e. ~H ( x .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` x ) .ih z ) <-> A. z e. ~H A. y e. ~H ( y .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( S ` z ) = ( S ` x ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( y .ih ( S ` z ) ) = ( y .ih ( S ` x ) ) )
42		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( T ` y ) .ih z ) = ( ( T ` y ) .ih x ) )
43	41, 42	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( y .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) <-> ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( z = x -> ( A. y e. ~H ( y .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) <-> A. y e. ~H ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) ) )
45	44	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. z e. ~H A. y e. ~H ( y .ih ( S ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) )
46	33, 39, 45	3bitri 286	. 2 |- ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( y .ih ( S ` x ) ) = ( ( T ` y ) .ih x ) )
47	25, 46	syl6rbbr 279	1 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( S ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( S ` x ) .ih y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   *ccj 13836   ~Hchil 27776   .ih csp 27779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hfi 27936  ax-his1 27939

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841

This theorem is referenced by:  dfadj2  28744  adjval2  28750  cnlnadjeui  28936  cnlnssadj  28939  adjbdln  28942