Theorem allbutfi 39616

Description: For all but finitely many. Some authors say "cofinitely many". Some authors say "ultimately". Compare with eliuniin 39279 and eliuniin2 39303 (here, the precondition can be dropped; see eliuniincex 39292). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfi.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
allbutfi.a	|- A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B

Assertion

Ref	Expression
allbutfi	|- ( X e. A <-> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B )

Distinct variable group:   m, X, n

Allowed substitution hints:   A( m, n)   B( m, n)   M( m, n)   Z( m, n)

Proof of Theorem allbutfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		allbutfi.a	. . . . . 6 |- A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B
2	1	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( X e. A <-> X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
3	2	biimpi 206	. . . 4 |- ( X e. A -> X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
4		eliun 4524	. . . 4 |- ( X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B <-> E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
5	3, 4	sylib 208	. . 3 |- ( X e. A -> E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
6		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ n X
7		nfiu1 4550	. . . . . 6 |- F/_ n U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B
8	1, 7	nfcxfr 2762	. . . . 5 |- F/_ n A
9	6, 8	nfel 2777	. . . 4 |- F/ n X e. A
10		eliin 4525	. . . . . 6 |- ( X e. A -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B <-> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
11	10	biimpd 219	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
12	11	a1d 25	. . . 4 |- ( X e. A -> ( n e. Z -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) ) )
13	9, 12	reximdai 3012	. . 3 |- ( X e. A -> ( E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
14	5, 13	mpd 15	. 2 |- ( X e. A -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B )
15		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B )
16		allbutfi.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
17	16	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
18	17	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
19		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
20		uzid 11702	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
22		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
24		eliin2 39299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ>= ` n ) =/= (/) -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B <-> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B <-> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B <-> A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
27	15, 26	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
28	27	ex 450	. . . . 5 |- ( n e. Z -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B ) )
29	28	reximia 3009	. . . 4 |- ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
30	29, 4	sylibr 224	. . 3 |- ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B )
31	30, 1	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> X e. A )
32	14, 31	impbii 199	1 |- ( X e. A <-> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  allbutfiinf  39647  allbutfifvre  39907  smflimlem3  40981  smfliminflem  41036