Theorem allbutfiinf 39647

Description: Given a "for all but finitely many" condition, the condition holds from N on. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
allbutfiinf.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
allbutfiinf.a	|- A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B
allbutfiinf.x	|- ( ph -> X e. A )
allbutfiinf.n	|- N = inf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
allbutfiinf	|- ( ph -> ( N e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B ) )

Distinct variable groups:   B, n   m, X, n   m, Z, n

Allowed substitution hints:   ph( m, n)   A( m, n)   B( m)   M( m, n)   N( m, n)

Proof of Theorem allbutfiinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 |- { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } C_ Z
2		allbutfiinf.n	. . . . 5 |- N = inf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> N = inf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < ) )
4		allbutfiinf.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	1, 4	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } C_ ( ZZ>= ` M )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } C_ ( ZZ>= ` M ) )
7		allbutfiinf.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. A )
8		allbutfiinf.a	. . . . . . . 8 |- A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) B
9	4, 8	allbutfi 39616	. . . . . . 7 |- ( X e. A <-> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B )
10	7, 9	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B )
11		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ n { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B }
12		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n (/)
13	11, 12	nfne 2894	. . . . . . . 8 |- F/ n { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/)
14		rabid 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } <-> ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) )
15	14	bicomi 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) <-> n e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } )
16	15	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) -> n e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } )
17		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B ) -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) )
19	18	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) ) )
20	13, 19	rexlimi 3024	. . . . . . 7 |- ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) ) )
22	10, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) )
23		infssuzcl 11772	. . . . 5 |- ( ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } C_ ( ZZ>= ` M ) /\ { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } =/= (/) ) -> inf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < ) e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } )
24	6, 22, 23	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> inf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < ) e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } )
25	3, 24	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> N e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } )
26	1, 25	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> N e. Z )
27		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n RR
28		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n <
29	11, 27, 28	nfinf 8388	. . . . . . 7 |- F/_ ninf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < )
30	2, 29	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ n N
31		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ n Z
32		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n ZZ>=
33	32, 30	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ n ( ZZ>= ` N )
34		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n X e. B
35	33, 34	nfral 2945	. . . . . 6 |- F/ n A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B
36		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ m ( ZZ>= ` n )
37		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ m ZZ>=
38		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m Z
40	38, 39	nfrab 3123	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B }
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m RR
42		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m <
43	40, 41, 42	nfinf 8388	. . . . . . . . 9 |- F/_ minf ( { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } , RR , < )
44	2, 43	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 |- F/_ m N
45	37, 44	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ m ( ZZ>= ` N )
46		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` N ) )
47	36, 45, 46	raleqd 39325	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B <-> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B ) )
48	30, 31, 35, 47	elrabf 3360	. . . . 5 |- ( N e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } <-> ( N e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B ) )
49	48	biimpi 206	. . . 4 |- ( N e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } -> ( N e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B ) )
50	49	simprd 479	. . 3 |- ( N e. { n e. Z | A. m e. ( ZZ>= ` n ) X e. B } -> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B )
51	25, 50	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B )
52	26, 51	jca 554	1 |- ( ph -> ( N e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

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