Theorem smflimlem3 40981

Description: The limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem3.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimlem3.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimlem3.m	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
smflimlem3.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
smflimlem3.a	|- ( ph -> A e. RR )
smflimlem3.p	|- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
smflimlem3.h	|- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
smflimlem3.i	|- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
smflimlem3.c	|- ( ( ph /\ y e. ran P ) -> ( C ` y ) e. y )
smflimlem3.x	|- ( ph -> X e. ( D i^i I ) )
smflimlem3.k	|- ( ph -> K e. NN )
smflimlem3.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )
smflimlem3.l	|- ( ph -> ( 1 / K ) < Y )

Assertion

Ref	Expression
smflimlem3	|- ( ph -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A, m, s   C, k, m, s   y, C   i, F, k, m, n, x   F, s, i   i, H, k, m, n   i, K, k, m, s, x   y, K, i   m, M   P, k, m, s   y, P   S, k, m, s   i, X, k, m, x   i, Z, k, m, n, x   ph, i, k, m   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, n, s)   A( y, i, n)   C( x, i, n)   D( x, y, i, k, m, n, s)   P( x, i, n)   S( x, y, i, n)   F( y)   H( x, y, s)   I( x, y, i, k, m, n, s)   K( n)   M( x, y, i, k, n, s)   X( y, n, s)   Y( x, y, i, k, m, n, s)   Z( y, s)

Proof of Theorem smflimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem3.d	. . . . . . . . 9 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
2		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- D C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
4		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( D i^i I ) C_ D
5		smflimlem3.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D i^i I ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
7	3, 6	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = m -> ( F ` i ) = ( F ` m ) )
9	8	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = m -> dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) )
10		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = m <-> m = i )
11	10	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = m -> dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) ) <-> ( m = i -> dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) ) )
12		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) <-> dom ( F ` m ) = dom ( F ` i ) )
13	12	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = i -> dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) ) <-> ( m = i -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` i ) ) )
14	11, 13	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = m -> dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) ) <-> ( m = i -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` i ) ) )
15	9, 14	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = i -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` i ) )
16	15	cbviinv 4560	. . . . . . . . . 10 |- |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` i )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` i ) )
18	17	iuneq2i 4539	. . . . . . . 8 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` i )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` m ) )
20	19	iineq1d 39267	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` i ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) )
21	20	cbviunv 4559	. . . . . . . 8 |- U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` i ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i )
22	18, 21	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i )
23	7, 22	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) )
24		smflimlem3.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
25		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i )
26	24, 25	allbutfi 39616	. . . . . . 7 |- ( X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) <-> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. dom ( F ` i ) )
27	26	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. dom ( F ` i ) )
28	23, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. dom ( F ` i ) )
29	5	elin2d 3803	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. I )
30		smflimlem3.i	. . . . . . . . 9 |- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = i -> ( m H k ) = ( i H k ) )
32	31	cbviinv 4560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i H k )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i H k ) )
34	33	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i H k )
35	19	iineq1d 39267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i H k ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k ) )
36	35	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ n e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` n ) ( i H k ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k )
37	34, 36	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k ) )
39	38	iineq2i 4540	. . . . . . . . 9 |- |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = |^|_ k e. NN U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k )
40	30, 39	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- I = |^|_ k e. NN U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k )
41	29, 40	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. |^|_ k e. NN U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k ) )
42		smflimlem3.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = K -> ( i H k ) = ( i H K ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = K /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( i H k ) = ( i H K ) )
45	44	iineq2dv 4543	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K ) )
46	45	iuneq2d 4547	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K ) )
47	46	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H k ) <-> X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K ) ) )
48	41, 42, 47	eliind 39240	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K ) )
49		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K )
50	24, 49	allbutfi 39616	. . . . . 6 |- ( X e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) ( i H K ) <-> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. ( i H K ) )
51	48, 50	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. ( i H K ) )
52	28, 51	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. dom ( F ` i ) /\ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. ( i H K ) ) )
53	24	rexanuz2 14089	. . . 4 |- ( E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) <-> ( E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. dom ( F ` i ) /\ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) X e. ( i H K ) ) )
54	52, 53	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) )
55		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ph )
56		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> m e. Z )
57	24	uztrn2 11705	. . . . . . 7 |- ( ( m e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> i e. Z )
58	56, 57	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> i e. Z )
59		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> X e. dom ( F ` i ) )
60		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. Z /\ X e. ( i H K ) ) -> X e. ( i H K ) )
61		smflimlem3.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) ) )
63		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( m P k ) = ( i P K ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( C ` ( m P k ) ) = ( C ` ( i P K ) ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( m = i /\ k = K ) ) -> ( C ` ( m P k ) ) = ( C ` ( i P K ) ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. Z )
67	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> K e. NN )
68		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( C ` ( i P K ) ) e. _V )
69	62, 65, 66, 67, 68	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( i H K ) = ( C ` ( i P K ) ) )
70	69	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. Z /\ X e. ( i H K ) ) -> ( i H K ) = ( C ` ( i P K ) ) )
71	60, 70	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. Z /\ X e. ( i H K ) ) -> X e. ( C ` ( i P K ) ) )
72	71	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ X e. ( i H K ) ) -> X e. ( C ` ( i P K ) ) )
73	72	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> X e. ( C ` ( i P K ) ) )
74	73, 59	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> X e. ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
76		smflimlem3.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> S e. SAlg )
77	75, 76	rabexd 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
78	77	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
79	78	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( m e. Z -> A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V ) )
80	79	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
81	80	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
82		smflimlem3.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
83	82	fnmpt2 7238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V -> P Fn ( Z X. NN ) )
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P Fn ( Z X. NN ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> P Fn ( Z X. NN ) )
86		fnovrn 6809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P Fn ( Z X. NN ) /\ i e. Z /\ K e. NN ) -> ( i P K ) e. ran P )
87	85, 66, 67, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( i P K ) e. ran P )
88		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i P K ) e. _V
89		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( i P K ) -> ( y e. ran P <-> ( i P K ) e. ran P ) )
90	89	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( i P K ) -> ( ( ph /\ y e. ran P ) <-> ( ph /\ ( i P K ) e. ran P ) ) )
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( i P K ) -> ( C ` y ) = ( C ` ( i P K ) ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( i P K ) -> y = ( i P K ) )
93	91, 92	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( i P K ) -> ( ( C ` y ) e. y <-> ( C ` ( i P K ) ) e. ( i P K ) ) )
94	90, 93	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( i P K ) -> ( ( ( ph /\ y e. ran P ) -> ( C ` y ) e. y ) <-> ( ( ph /\ ( i P K ) e. ran P ) -> ( C ` ( i P K ) ) e. ( i P K ) ) ) )
95		smflimlem3.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. ran P ) -> ( C ` y ) e. y )
96	88, 94, 95	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i P K ) e. ran P ) -> ( C ` ( i P K ) ) e. ( i P K ) )
97	87, 96	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( C ` ( i P K ) ) e. ( i P K ) )
98	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) )
99	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` i ) )
100	8	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = m -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
101	10	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( i = m -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) ) <-> ( m = i -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) ) )
102		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) <-> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` i ) ` x ) )
103	102	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m = i -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) ) <-> ( m = i -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` i ) ` x ) ) )
104	101, 103	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( i = m -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) ) <-> ( m = i -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` i ) ` x ) ) )
105	100, 104	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = i -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` i ) ` x ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` i ) ` x ) )
107		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = K -> ( 1 / k ) = ( 1 / K ) )
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = K -> ( A + ( 1 / k ) ) = ( A + ( 1 / K ) ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( A + ( 1 / k ) ) = ( A + ( 1 / K ) ) )
110	106, 109	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) <-> ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) )
111	99, 110	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } )
112	15	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = i -> ( s i^i dom ( F ` m ) ) = ( s i^i dom ( F ` i ) ) )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( s i^i dom ( F ` m ) ) = ( s i^i dom ( F ` i ) ) )
114	111, 113	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> ( { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) <-> { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) ) )
115	114	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m = i /\ k = K ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( m = i /\ k = K ) ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } )
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) }
118	117, 76	rabexd 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } e. _V )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } e. _V )
120	98, 116, 66, 67, 119	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( i P K ) = { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } )
121	97, 120	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( C ` ( i P K ) ) e. { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } )
122		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( C ` ( i P K ) ) -> ( s i^i dom ( F ` i ) ) = ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) )
123	122	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( C ` ( i P K ) ) -> ( { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) <-> { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) ) )
124	123	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C ` ( i P K ) ) e. { s e. S | { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( s i^i dom ( F ` i ) ) } <-> ( ( C ` ( i P K ) ) e. S /\ { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) ) )
125	121, 124	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ( C ` ( i P K ) ) e. S /\ { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) ) )
126	125	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } = ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) )
127	126	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) = { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> ( ( C ` ( i P K ) ) i^i dom ( F ` i ) ) = { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } )
129	74, 128	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> X e. { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` i ) ` X ) )
131		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( A + ( 1 / K ) ) = ( A + ( 1 / K ) ) )
132	130, 131	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) <-> ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) )
133	132	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. { x e. dom ( F ` i ) | ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( 1 / K ) ) } <-> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) )
134	129, 133	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) )
135	134	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) )
136	59, 135	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) )
137	136	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) )
138	55, 58, 137	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) )
139	138	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) )
140	139	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ X e. ( i H K ) ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) )
141	54, 140	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) )
142		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> X e. dom ( F ` i ) )
143		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR )
144		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = i -> ( m e. Z <-> i e. Z ) )
145	144	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( ( ph /\ m e. Z ) <-> ( ph /\ i e. Z ) ) )
146		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = i -> ( F ` m ) = ( F ` i ) )
147	146, 15	feq12d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR <-> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR ) )
148	145, 147	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = i -> ( ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR ) ) )
149	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> S e. SAlg )
150		smflimlem3.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
151		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
152	149, 150, 151	smff 40941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
153	143, 148, 152	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ X e. dom ( F ` i ) ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR )
155		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ X e. dom ( F ` i ) ) -> X e. dom ( F ` i ) )
156	154, 155	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ X e. dom ( F ` i ) ) -> ( ( F ` i ) ` X ) e. RR )
157	156	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( ( F ` i ) ` X ) e. RR )
158		smflimlem3.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
159	42	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. RR )
160	158, 159	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + ( 1 / K ) ) e. RR )
161	160	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( A + ( 1 / K ) ) e. RR )
162		smflimlem3.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR+ )
163	162	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
164	158, 163	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + Y ) e. RR )
165	164	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( A + Y ) e. RR )
166		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) )
167		smflimlem3.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / K ) < Y )
168	159, 163, 158, 167	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + ( 1 / K ) ) < ( A + Y ) )
169	168	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( A + ( 1 / K ) ) < ( A + Y ) )
170	157, 161, 165, 166, 169	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) )
171	142, 170	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) )
172	171	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) ) )
173	55, 58, 172	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) -> ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) ) )
174	173	ralimdva 2962	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) ) )
175	174	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + ( 1 / K ) ) ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) ) )
176	141, 175	mpd 15	1 |- ( ph -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( X e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` X ) < ( A + Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimlem4  40982