Theorem smfliminflem 41036

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminflem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smfliminflem.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smfliminflem.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfliminflem.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smfliminflem.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
smfliminflem.g	|- G = ( x e. D |-> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smfliminflem	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   x, D   n, F, x   m, M   S, m   m, Z, n, x   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   D( m, n)   S( x, n)   F( m)   G( x, m, n)   M( x, n)

Proof of Theorem smfliminflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminflem.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
3		smfliminflem.d	. . . . . . . . . 10 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
4		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
5	3, 4	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- D C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
6		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> x e. D )
7	5, 6	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
8		smfliminflem.z	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
10	8, 9	allbutfi 39616	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) )
11	7, 10	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) )
12	11	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) )
13		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ m ( ph /\ n e. Z )
14		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ m A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m )
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ m ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) )
16	8	fvexi 6202	. . . . . . . . . 10 |- Z e. _V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) -> Z e. _V )
18	8	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
19	18	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z -> n e. RR )
20	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) -> n e. RR )
21		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) -> ph )
22		elinel1 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) -> m e. Z )
23		smfliminflem.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. SAlg )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> S e. SAlg )
25		smfliminflem.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
28	24, 26, 27	smff 40941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
29	21, 22, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
30		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
32	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> n e. ZZ )
33	8, 22	eluzelz2d 39640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) -> m e. ZZ )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> m e. ZZ )
35	19	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> n e. RR* )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> n e. RR* )
37		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- +oo e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> +oo e. RR* )
39		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) -> m e. ( n [,) +oo ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> m e. ( n [,) +oo ) )
41	36, 38, 40	icogelbd 39785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> n <_ m )
42	31, 32, 34, 41	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` n ) )
43	42	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` n ) )
44		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. dom ( F ` m ) )
45	30, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. Z /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> x e. dom ( F ` m ) )
46	45	adantlll 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> x e. dom ( F ` m ) )
47	29, 46	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( Z i^i ( n [,) +oo ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
48	15, 17, 20, 47	liminfval4 40021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
49	48	rexlimdva2 39339	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
51	12, 50	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
52	51	xnegeqd 39664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> -e (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
53	16	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) e. _V
54	53	limsupcli 39989	. . . . . . . . . . 11 |- ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR*
55	54	xnegnegi 39666	. . . . . . . . . 10 |- -e -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> -e -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
57	52, 56	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
58	3	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D <-> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
59	58	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
61	60	rexnegd 39334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> -e (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -u (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
62	57, 61	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> -u (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
63	60	renegcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> -u (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
64	62, 63	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
65	64	rexnegd 39334	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -u ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
66	51, 65	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -u ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
67	66	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. D |-> -u ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
68	2, 67	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> -u ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
69		nfv 1843	. . 3 |- F/ x ph
70	18, 31	uzn0d 39652	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
71		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` m ) e. _V
72	71	dmex 7099	. . . . . . . . . 10 |- dom ( F ` m ) e. _V
73	72	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
75		iinexg 4824	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZZ>= ` n ) =/= (/) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
76	70, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
77	76	rgen 2922	. . . . . 6 |- A. n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
78		iunexg 7143	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ A. n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V ) -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
79	16, 77, 78	mp2an 708	. . . . 5 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
80	79, 5	ssexi 4803	. . . 4 |- D e. _V
81	80	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
82	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
83	10	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) )
84	49	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( F ` m ) ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
85	83, 84	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
86	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR* )
87		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
88		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
89	87, 88	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
90		xnegrecl2 39690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR* /\ -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
91	86, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
92		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
93		xnegrecl 39665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR -> -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
95	92, 94	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
96	91, 95	impbida 877	. . . . . . . 8 |- ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) -> ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR <-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
97	85, 96	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR <-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
98	97	rabbidva 3188	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | (liminf ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
99	82, 98	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
100	69, 99	mpteq1df 39443	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
101		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ m ph
102		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ n ph
103		smfliminflem.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
104		negex 10279	. . . . . 6 |- -u ( ( F ` m ) ` x ) e. _V
105	104	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> -u ( ( F ` m ) ` x ) e. _V )
106		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x ( ph /\ m e. Z )
107	72	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> dom ( F ` m ) e. _V )
108	28	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
109	28	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( x e. dom ( F ` m ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
110	109, 26	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. dom ( F ` m ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
111	106, 24, 107, 108, 110	smfneg 41010	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. dom ( F ` m ) |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
112		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
113		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
114	101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113	smflimsupmpt 41035	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )
115	100, 114	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )
116	69, 23, 81, 64, 115	smfneg 41010	. 2 |- ( ph -> ( x e. D |-> -u ( limsup ` ( m e. Z |-> -u ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )
117	68, 116	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   -ecxne 11943   [,)cico 12177   limsupclsp 14201  liminfclsi 39983  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-liminf 39984  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfliminf  41037