Theorem opphllem 25627

Description: Lemma 8.24 of [Schwabhauser] p. 66. This is used later for mideulem 25628 and later for opphl 25646. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	|- P = ( Base ` G )
colperpex.d	|- .- = ( dist ` G )
colperpex.i	|- I = (Itv ` G )
colperpex.l	|- L = (LineG ` G )
colperpex.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
mideu.s	|- S = (pInvG ` G )
mideu.1	|- ( ph -> A e. P )
mideu.2	|- ( ph -> B e. P )
mideulem.1	|- ( ph -> A =/= B )
mideulem.2	|- ( ph -> Q e. P )
mideulem.3	|- ( ph -> O e. P )
mideulem.4	|- ( ph -> T e. P )
mideulem.5	|- ( ph -> ( A L B ) (⟂G ` G ) ( Q L B ) )
mideulem.6	|- ( ph -> ( A L B ) (⟂G ` G ) ( A L O ) )
mideulem.7	|- ( ph -> T e. ( A L B ) )
mideulem.8	|- ( ph -> T e. ( Q I O ) )
opphllem.1	|- ( ph -> R e. P )
opphllem.2	|- ( ph -> R e. ( B I Q ) )
opphllem.3	|- ( ph -> ( A .- O ) = ( B .- R ) )

Assertion

Ref	Expression
opphllem	|- ( ph -> E. x e. P ( B = ( ( S ` x ) ` A ) /\ O = ( ( S ` x ) ` R ) ) )

Distinct variable groups:   x, .-   x, A   x, B   x, I   x, O   x, P   x, Q   x, R   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   G( x)   L( x)

Proof of Theorem opphllem

Dummy variables m s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
2		colperpex.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
3		colperpex.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
4		colperpex.l	. . . 4 |- L = (LineG ` G )
5		mideu.s	. . . 4 |- S = (pInvG ` G )
6		colperpex.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( S ` x ) = ( S ` x )
9		mideu.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> B e. P )
11		mideulem.3	. . . . 5 |- ( ph -> O e. P )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> O e. P )
13		mideu.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
14	13	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> A e. P )
15		opphllem.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. P )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> R e. P )
17		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. P )
18		mideulem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A =/= B )
19	18	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B =/= A )
20	19	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. B = A )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> -. B = A )
22		mideulem.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A L B ) (⟂G ` G ) ( A L O ) )
23	4, 6, 22	perpln2 25606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A L O ) e. ran L )
24	1, 3, 4, 6, 13, 11, 23	tglnne 25523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A =/= O )
25	24	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> O =/= A )
26	25	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. O = A )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> -. O = A )
28	21, 27	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> ( -. B = A /\ -. O = A ) )
29	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> G e. TarskiG )
30	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> B e. P )
31	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> A e. P )
32	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> O e. P )
33	1, 3, 4, 6, 9, 13, 19	tglinerflx2 25529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. ( B L A ) )
34	1, 3, 4, 6, 13, 9, 18	tglinecom 25530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A L B ) = ( B L A ) )
35	34, 22	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B L A ) (⟂G ` G ) ( A L O ) )
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 33, 11, 35	perprag 25618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <" B A O "> e. (∟G ` G ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> <" B A O "> e. (∟G ` G ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> O e. ( B L A ) )
39	38	orcd 407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> ( O e. ( B L A ) \/ B = A ) )
40	1, 2, 3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 37, 39	ragflat3 25601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> ( B = A \/ O = A ) )
41		oran 517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B = A \/ O = A ) <-> -. ( -. B = A /\ -. O = A ) )
42	40, 41	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ O e. ( B L A ) ) -> -. ( -. B = A /\ -. O = A ) )
43	28, 42	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. O e. ( B L A ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> -. O e. ( B L A ) )
45	34	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( A L B ) = ( B L A ) )
46	44, 45	neleqtrrd 2723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> -. O e. ( A L B ) )
47	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> A =/= B )
48	47	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> -. A = B )
49	46, 48	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( -. O e. ( A L B ) /\ -. A = B ) )
50		pm4.56 516	. . . . . 6 |- ( ( -. O e. ( A L B ) /\ -. A = B ) <-> -. ( O e. ( A L B ) \/ A = B ) )
51	49, 50	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> -. ( O e. ( A L B ) \/ A = B ) )
52	1, 4, 3, 7, 14, 10, 12, 51	ncolrot2 25458	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> -. ( B e. ( O L A ) \/ O = A ) )
53		simprrr 805	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( R I O ) )
54	1, 2, 3, 7, 16, 17, 12, 53	tgbtwncom 25383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( O I R ) )
55		mideulem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. P )
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> T e. P )
57		mideulem.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. ( A L B ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> T e. ( A L B ) )
59		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( T I B ) )
60	1, 3, 4, 7, 56, 14, 10, 17, 58, 59	coltr3 25543	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( A L B ) )
61	43, 34	neleqtrrd 2723	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. O e. ( A L B ) )
62	61	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> -. O e. ( A L B ) )
63		nelne2 2891	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A L B ) /\ -. O e. ( A L B ) ) -> x =/= O )
64	60, 62, 63	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x =/= O )
65	1, 2, 3, 7, 12, 17, 16, 54, 64	tgbtwnne 25385	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> O =/= R )
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 13, 11	israg 25592	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( <" B A O "> e. (∟G ` G ) <-> ( B .- O ) = ( B .- ( ( S ` A ) ` O ) ) ) )
67	36, 66	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .- O ) = ( B .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( B .- O ) = ( B .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
69	6	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> G e. TarskiG )
70		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( S ` A ) = ( S ` A )
71	1, 2, 3, 4, 5, 7, 14, 70, 12	mircl 25556	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( ( S ` A ) ` O ) e. P )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( ( S ` A ) ` O ) e. P )
73	13	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> A e. P )
74	11	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> O e. P )
75	15	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> R e. P )
76	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> B e. P )
77		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> s e. P )
78	1, 2, 3, 4, 5, 69, 73, 70, 74	mirbtwn 25553	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> A e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I O ) )
79		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( S ` B ) = ( S ` B )
80	1, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 79, 77	mirbtwn 25553	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> B e. ( ( ( S ` B ) ` s ) I s ) )
81		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> R = ( ( S ` m ) ` s ) )
82	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> G e. TarskiG )
83	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> A e. P )
84	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> B e. P )
85	47	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> A =/= B )
86		mideulem.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Q e. P )
87	86	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> Q e. P )
88	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> O e. P )
89	56	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> T e. P )
90		mideulem.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A L B ) (⟂G ` G ) ( Q L B ) )
91	90	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( A L B ) (⟂G ` G ) ( Q L B ) )
92	22	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( A L B ) (⟂G ` G ) ( A L O ) )
93	58	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> T e. ( A L B ) )
94		mideulem.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. ( Q I O ) )
95	94	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> T e. ( Q I O ) )
96	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> R e. P )
97		opphllem.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> R e. ( B I Q ) )
98	97	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> R e. ( B I Q ) )
99		opphllem.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A .- O ) = ( B .- R ) )
100	99	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( A .- O ) = ( B .- R ) )
101	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> x e. P )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> x e. P )
103		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) )
104	103	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) )
105	104	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> x e. ( T I B ) )
106	104	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> x e. ( R I O ) )
107	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> s e. P )
108		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) )
109	108	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) )
110		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( x .- s ) = ( x .- R ) )
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( x .- s ) = ( x .- R ) )
112		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> m e. P )
113	1, 2, 3, 4, 82, 5, 83, 84, 85, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 95, 96, 98, 100, 102, 105, 106, 107, 109, 111, 112, 81	mideulem2 25626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> B = m )
114	113	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> m = B )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( S ` m ) = ( S ` B ) )
116	115	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> ( ( S ` m ) ` s ) = ( ( S ` B ) ` s ) )
117	81, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) /\ m e. P ) /\ R = ( ( S ` m ) ` s ) ) -> R = ( ( S ` B ) ` s ) )
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( S ` m ) = ( S ` m )
119	1, 2, 3, 4, 5, 69, 118, 77, 75, 101, 110	midexlem 25587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> E. m e. P R = ( ( S ` m ) ` s ) )
120	117, 119	r19.29a 3078	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> R = ( ( S ` B ) ` s ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( R I s ) = ( ( ( S ` B ) ` s ) I s ) )
122	80, 121	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> B e. ( R I s ) )
123	1, 2, 3, 4, 5, 69, 73, 70, 74	mircgr 25552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( A .- ( ( S ` A ) ` O ) ) = ( A .- O ) )
124	99	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( A .- O ) = ( B .- R ) )
125	123, 124	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( A .- ( ( S ` A ) ` O ) ) = ( B .- R ) )
126	1, 2, 3, 69, 73, 72, 76, 75, 125	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( ( ( S ` A ) ` O ) .- A ) = ( R .- B ) )
127	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( B .- R ) = ( B .- ( ( S ` B ) ` s ) ) )
128	1, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 79, 77	mircgr 25552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( B .- ( ( S ` B ) ` s ) ) = ( B .- s ) )
129	124, 127, 128	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( A .- O ) = ( B .- s ) )
130	1, 2, 3, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 122, 126, 129	tgcgrextend 25380	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( ( ( S ` A ) ` O ) .- O ) = ( R .- s ) )
131	1, 2, 3, 69, 72, 75	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( ( ( S ` A ) ` O ) .- R ) = ( R .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
132	1, 2, 3, 69, 74, 75	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( O .- R ) = ( R .- O ) )
133	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> x e. ( R I O ) )
134		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) )
135	1, 2, 3, 69, 72, 101, 77, 134	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> x e. ( s I ( ( S ` A ) ` O ) ) )
136	1, 2, 3, 69, 101, 77, 101, 75, 110	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( s .- x ) = ( R .- x ) )
137	136	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( R .- x ) = ( s .- x ) )
138	36	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> <" B A O "> e. (∟G ` G ) )
139	47	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> B =/= A )
140	139	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> B =/= A )
141	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> x e. ( A L B ) )
142	141	orcd 407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( x e. ( A L B ) \/ A = B ) )
143	1, 4, 3, 69, 73, 76, 101, 142	colcom 25453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( x e. ( B L A ) \/ B = A ) )
144	1, 4, 3, 69, 76, 73, 101, 143	colrot1 25454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( B e. ( A L x ) \/ A = x ) )
145	1, 2, 3, 4, 5, 69, 76, 73, 74, 101, 138, 140, 144	ragcol 25594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> <" x A O "> e. (∟G ` G ) )
146	1, 2, 3, 4, 5, 69, 101, 73, 74	israg 25592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( <" x A O "> e. (∟G ` G ) <-> ( x .- O ) = ( x .- ( ( S ` A ) ` O ) ) ) )
147	145, 146	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( x .- O ) = ( x .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
148	1, 2, 3, 69, 75, 101, 74, 77, 101, 72, 133, 135, 137, 147	tgcgrextend 25380	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( R .- O ) = ( s .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
149	132, 148	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( O .- R ) = ( s .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
150	1, 2, 3, 69, 72, 73, 74, 75, 75, 76, 77, 72, 78, 122, 130, 129, 131, 149	tgifscgr 25403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( A .- R ) = ( B .- ( ( S ` A ) ` O ) ) )
151	68, 150	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) /\ s e. P ) /\ ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) ) -> ( B .- O ) = ( A .- R ) )
152	1, 2, 3, 7, 71, 17, 17, 16	axtgsegcon 25363	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> E. s e. P ( x e. ( ( ( S ` A ) ` O ) I s ) /\ ( x .- s ) = ( x .- R ) ) )
153	151, 152	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( B .- O ) = ( A .- R ) )
154	99	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( A .- O ) = ( B .- R ) )
155	1, 2, 3, 7, 14, 12, 10, 16, 154	tgcgrcomlr 25375	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( O .- A ) = ( R .- B ) )
156	143, 152	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( x e. ( B L A ) \/ B = A ) )
157	1, 4, 3, 7, 12, 16, 17, 54	btwncolg1 25450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( x e. ( O L R ) \/ O = R ) )
158	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 52, 65, 153, 155, 156, 157	symquadlem 25584	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> B = ( ( S ` x ) ` A ) )
159	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 14	mirbtwn 25553	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( ( ( S ` x ) ` A ) I A ) )
160	158	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( B I A ) = ( ( ( S ` x ) ` A ) I A ) )
161	159, 160	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( B I A ) )
162	1, 2, 3, 7, 10, 17, 14, 161	tgbtwncom 25383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> x e. ( A I B ) )
163	1, 2, 3, 7, 14, 10	axtgcgrrflx 25361	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( A .- B ) = ( B .- A ) )
164	158	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( x .- B ) = ( x .- ( ( S ` x ) ` A ) ) )
165	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 14	mircgr 25552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( x .- ( ( S ` x ) ` A ) ) = ( x .- A ) )
166	164, 165	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( x .- B ) = ( x .- A ) )
167	1, 2, 3, 7, 14, 17, 10, 12, 10, 17, 14, 16, 162, 161, 163, 166, 154, 153	tgifscgr 25403	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( x .- O ) = ( x .- R ) )
168	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 8, 16, 12, 167, 54	ismir 25554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> O = ( ( S ` x ) ` R ) )
169	158, 168	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) ) ) -> ( B = ( ( S ` x ) ` A ) /\ O = ( ( S ` x ) ` R ) ) )
170	1, 2, 3, 6, 86, 55, 11, 94	tgbtwncom 25383	. . 3 |- ( ph -> T e. ( O I Q ) )
171	1, 2, 3, 6, 11, 9, 86, 55, 15, 170, 97	axtgpasch 25366	. 2 |- ( ph -> E. x e. P ( x e. ( T I B ) /\ x e. ( R I O ) ) )
172	169, 171	reximddv 3018	1 |- ( ph -> E. x e. P ( B = ( ( S ` x ) ` A ) /\ O = ( ( S ` x ) ` R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  pInvGcmir 25547  ∟Gcrag 25588  ⟂Gcperpg 25590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591

This theorem is referenced by:  mideulem  25628  opphllem3  25641