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Theorem lnopp2hpgb 25655
Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishpg.p |- P = ( Base ` G )
ishpg.i |- I = (Itv ` G )
ishpg.l |- L = (LineG ` G )
ishpg.o |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
ishpg.g |- ( ph -> G e. TarskiG )
ishpg.d |- ( ph -> D e. ran L )
hpgbr.a |- ( ph -> A e. P )
hpgbr.b |- ( ph -> B e. P )
lnopp2hpgb.c |- ( ph -> C e. P )
lnopp2hpgb.1 |- ( ph -> A O C )
Assertion
Ref Expression
lnopp2hpgb |- ( ph -> ( B O C <-> A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) )
Distinct variable groups:   t, A   t, B   C, a, b, t   D, a, b, t   G, a, b, t   I, a, b, t   L, a, b, t   O, a, b, t   P, a, b, t   ph, t
Allowed substitution hints:   ph( a, b)   A( a, b)   B( a, b)
Proof of Theorem lnopp2hpgb
Dummy variables d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopp2hpgb.c . . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
21adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ B O C ) -> C e. P )
3 lnopp2hpgb.1 . . . . 5 |- ( ph -> A O C )
43adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ B O C ) -> A O C )
5 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ph /\ B O C ) -> B O C )
6 breq2 4657 . . . . . 6 |- ( d = C -> ( A O d <-> A O C ) )
7 breq2 4657 . . . . . 6 |- ( d = C -> ( B O d <-> B O C ) )
86, 7anbi12d 747 . . . . 5 |- ( d = C -> ( ( A O d /\ B O d ) <-> ( A O C /\ B O C ) ) )
98rspcev 3309 . . . 4 |- ( ( C e. P /\ ( A O C /\ B O C ) ) -> E. d e. P ( A O d /\ B O d ) )
102, 4, 5, 9syl12anc 1324 . . 3 |- ( ( ph /\ B O C ) -> E. d e. P ( A O d /\ B O d ) )
11 ishpg.p . . . . 5 |- P = ( Base ` G )
12 ishpg.i . . . . 5 |- I = (Itv ` G )
13 ishpg.l . . . . 5 |- L = (LineG ` G )
14 ishpg.o . . . . 5 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
15 ishpg.g . . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
16 ishpg.d . . . . 5 |- ( ph -> D e. ran L )
17 hpgbr.a . . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
18 hpgbr.b . . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hpgbr 25652 . . . 4 |- ( ph -> ( A ( (hpG ` G ) ` D ) B <-> E. d e. P ( A O d /\ B O d ) ) )
2019adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ B O C ) -> ( A ( (hpG ` G ) ` D ) B <-> E. d e. P ( A O d /\ B O d ) ) )
2110, 20mpbird 247 . 2 |- ( ( ph /\ B O C ) -> A ( (hpG ` G ) ` D ) B )
22 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
2316ad7antr 774 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> D e. ran L )
2423ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> D e. ran L )
2515ad7antr 774 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> G e. TarskiG )
2625ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> G e. TarskiG )
27 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- (hlG ` G ) = (hlG ` G )
2817ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> A e. P )
2928ad4antr 768 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> A e. P )
3029ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> A e. P )
3118ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> B e. P )
3231ad4antr 768 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> B e. P )
3332ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> B e. P )
341ad10antr 780 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> C e. P )
353ad10antr 780 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> A O C )
36 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. D )
37 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> y e. D )
3811, 13, 12, 25, 23, 37tglnpt 25444 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> y e. P )
3938ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y e. P )
40 simp-5r 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y e. D )
4111, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35oppne1 25633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> -. A e. D )
42 nelne2 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. D /\ -. A e. D ) -> y =/= A )
4340, 41, 42syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y =/= A )
4411, 12, 13, 26, 39, 30, 43tgelrnln 25525 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( y L A ) e. ran L )
4511, 12, 13, 26, 39, 30, 43tglinerflx2 25529 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> A e. ( y L A ) )
46 nelne1 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( y L A ) /\ -. A e. D ) -> ( y L A ) =/= D )
4745, 41, 46syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( y L A ) =/= D )
4847necomd 2849 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> D =/= ( y L A ) )
49 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. P )
50 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( y I A ) )
5111, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50btwnlng1 25514 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( y L A ) )
5236, 51elind 3798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( D i^i ( y L A ) ) )
5311, 12, 13, 26, 39, 30, 43tglinerflx1 25528 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y e. ( y L A ) )
5440, 53elind 3798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y e. ( D i^i ( y L A ) ) )
5511, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54tglineineq 25538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z = y )
5655, 43eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z =/= A )
5756necomd 2849 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> A =/= z )
58 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> x e. D )
5911, 13, 12, 25, 23, 58tglnpt 25444 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> x e. P )
6059ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x e. P )
61 simp-7r 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x e. D )
62 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> d e. P )
6362ad4antr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> d e. P )
6463ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> d e. P )
65 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> B O d )
6665ad7antr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> B O d )
6711, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66oppne1 25633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> -. B e. D )
68 nelne2 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. D /\ -. B e. D ) -> x =/= B )
6961, 67, 68syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x =/= B )
7011, 12, 13, 26, 60, 33, 69tgelrnln 25525 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( x L B ) e. ran L )
7111, 12, 13, 26, 60, 33, 69tglinerflx2 25529 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> B e. ( x L B ) )
72 nelne1 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. ( x L B ) /\ -. B e. D ) -> ( x L B ) =/= D )
7371, 67, 72syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( x L B ) =/= D )
7473necomd 2849 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> D =/= ( x L B ) )
75 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( x I B ) )
7611, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75btwnlng1 25514 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( x L B ) )
7736, 76elind 3798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( D i^i ( x L B ) ) )
7811, 12, 13, 26, 60, 33, 69tglinerflx1 25528 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x e. ( x L B ) )
7961, 78elind 3798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x e. ( D i^i ( x L B ) ) )
8011, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79tglineineq 25538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z = x )
8180, 69eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z =/= B )
8281necomd 2849 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> B =/= z )
83 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> A O d )
8483ad7antr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> A O d )
8511, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84oppne2 25634 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> -. d e. D )
86 nelne2 2891 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ -. d e. D ) -> z =/= d )
8736, 85, 86syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z =/= d )
8887necomd 2849 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> d =/= z )
89 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> x e. ( A I d ) )
9089ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x e. ( A I d ) )
9111, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90tgbtwncom 25383 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> x e. ( d I A ) )
9280, 91eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( d I A ) )
93 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> y e. ( B I d ) )
9493ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y e. ( B I d ) )
9511, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 94tgbtwncom 25383 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> y e. ( d I B ) )
9655, 95eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> z e. ( d I B ) )
9711, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 96tgbtwnconn2 25471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( A e. ( z I B ) \/ B e. ( z I A ) ) )
9857, 82, 973jca 1242 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( A =/= z /\ B =/= z /\ ( A e. ( z I B ) \/ B e. ( z I A ) ) ) )
9911, 12, 27, 30, 33, 49, 26ishlg 25497 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> ( A ( (hlG ` G ) ` z ) B <-> ( A =/= z /\ B =/= z /\ ( A e. ( z I B ) \/ B e. ( z I A ) ) ) ) )
10098, 99mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> A ( (hlG ` G ) ` z ) B )
10111, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 100opphl 25646 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ z e. D ) -> B O C )
10223ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> D e. ran L )
10325ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> G e. TarskiG )
104 simpllr 799 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z e. P )
10532ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> B e. P )
1061ad10antr 780 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> C e. P )
10729ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> A e. P )
1083ad10antr 780 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> A O C )
10937ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> y e. D )
11038ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> y e. P )
111 simplrr 801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z e. ( y I A ) )
112 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> -. z e. D )
113 nelne2 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. D /\ -. z e. D ) -> y =/= z )
114109, 112, 113syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> y =/= z )
115114necomd 2849 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z =/= y )
11611, 22, 12, 103, 110, 104, 107, 111, 115tgbtwnne 25385 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> y =/= A )
11711, 12, 27, 110, 107, 104, 103, 107, 111, 116, 115btwnhl1 25507 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z ( (hlG ` G ) ` y ) A )
11811, 12, 27, 104, 107, 110, 103, 117hlcomd 25499 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> A ( (hlG ` G ) ` y ) z )
11911, 22, 12, 14, 13, 102, 103, 27, 107, 104, 106, 108, 109, 118opphl 25646 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z O C )
12058ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> x e. D )
12159ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> x e. P )
122 simplrl 800 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z e. ( x I B ) )
123 nelne2 2891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. D /\ -. z e. D ) -> x =/= z )
124120, 112, 123syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> x =/= z )
125124necomd 2849 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z =/= x )
12611, 22, 12, 103, 121, 104, 105, 122, 125tgbtwnne 25385 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> x =/= B )
12711, 12, 27, 121, 105, 104, 103, 107, 122, 126, 125btwnhl1 25507 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> z ( (hlG ` G ) ` x ) B )
12811, 22, 12, 14, 13, 102, 103, 27, 104, 105, 106, 119, 120, 127opphl 25646 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) /\ -. z e. D ) -> B O C )
129101, 128pm2.61dan 832 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) ) -> B O C )
13011, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 93axtgpasch 25366 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> E. z e. P ( z e. ( x I B ) /\ z e. ( y I A ) ) )
131129, 130r19.29a 3078 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) /\ y e. D ) /\ y e. ( B I d ) ) -> B O C )
13211, 22, 12, 14, 31, 62islnopp 25631 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> ( B O d <-> ( ( -. B e. D /\ -. d e. D ) /\ E. t e. D t e. ( B I d ) ) ) )
13365, 132mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> ( ( -. B e. D /\ -. d e. D ) /\ E. t e. D t e. ( B I d ) ) )
134133simprd 479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> E. t e. D t e. ( B I d ) )
135 eleq1 2689 . . . . . . . 8 |- ( t = y -> ( t e. ( B I d ) <-> y e. ( B I d ) ) )
136135cbvrexv 3172 . . . . . . 7 |- ( E. t e. D t e. ( B I d ) <-> E. y e. D y e. ( B I d ) )
137134, 136sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> E. y e. D y e. ( B I d ) )
138137ad2antrr 762 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) -> E. y e. D y e. ( B I d ) )
139131, 138r19.29a 3078 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) /\ x e. D ) /\ x e. ( A I d ) ) -> B O C )
14011, 22, 12, 14, 28, 62islnopp 25631 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> ( A O d <-> ( ( -. A e. D /\ -. d e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I d ) ) ) )
14183, 140mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> ( ( -. A e. D /\ -. d e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I d ) ) )
142141simprd 479 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> E. t e. D t e. ( A I d ) )
143 eleq1 2689 . . . . . 6 |- ( t = x -> ( t e. ( A I d ) <-> x e. ( A I d ) ) )
144143cbvrexv 3172 . . . . 5 |- ( E. t e. D t e. ( A I d ) <-> E. x e. D x e. ( A I d ) )
145142, 144sylib 208 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> E. x e. D x e. ( A I d ) )
146139, 145r19.29a 3078 . . 3 |- ( ( ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) /\ d e. P ) /\ ( A O d /\ B O d ) ) -> B O C )
14719biimpa 501 . . 3 |- ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) -> E. d e. P ( A O d /\ B O d ) )
148146, 147r19.29a 3078 . 2 |- ( ( ph /\ A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) -> B O C )
14921, 148impbida 877 1 |- ( ph -> ( B O C <-> A ( (hpG ` G ) ` D ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   {copab 4712   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  hlGchlg 25495  hpGchpg 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkgld 25351  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-hlg 25496  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591  df-hpg 25650
This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  25656  hpgtr  25660  colhp  25662  lnperpex  25695  trgcopyeulem  25697
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