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Theorem outpasch 25647

Description: Axiom of Pasch, outer form. This was proven by Gupta from other axioms and is therefore presented as Theorem 9.6 in [Schwabhauser] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
outpasch.p
outpasch.i	Itv
outpasch.l	LineG
outpasch.g	TarskiG
outpasch.a
outpasch.b
outpasch.c
outpasch.r
outpasch.q
outpasch.1
outpasch.2

**Assertion**
Ref	Expression
outpasch	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem outpasch Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		outpasch.a	. . . . . 6
2	1	adantr 481	. . . . 5 $/\$
3		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
4	3	eleq1d 2686	. . . . . 6 $/\$ $/\$
5	3	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
6	5	eleq2d 2687	. . . . . 6 $/\$ $/\$
7	4, 6	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		outpasch.p	. . . . . . . 8
9		eqid 2622	. . . . . . . 8
10		outpasch.i	. . . . . . . 8 Itv
11		outpasch.g	. . . . . . . 8 TarskiG
12		outpasch.b	. . . . . . . 8
13	8, 9, 10, 11, 1, 12	tgbtwntriv1 25386	. . . . . . 7
14	13	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
15	11	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ TarskiG
16		outpasch.r	. . . . . . . 8
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
18		outpasch.q	. . . . . . . 8
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
20		outpasch.c	. . . . . . . 8
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
22		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
23		outpasch.1	. . . . . . . . 9
24	8, 9, 10, 11, 1, 20, 16, 23	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
26	8, 9, 10, 15, 17, 19, 21, 2, 22, 25	tgbtwnexch 25393	. . . . . 6 $/\$
27	14, 26	jca 554	. . . . 5 $/\$ $/\$
28	2, 7, 27	rspcedvd 3317	. . . 4 $/\$ $/\$
29	28	adantlr 751	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30	12	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$
31		eleq1 2689	. . . . . 6
32		eqidd 2623	. . . . . . 7
33		oveq2 6658	. . . . . . 7
34	32, 33	eleq12d 2695	. . . . . 6
35	31, 34	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
36	35	adantl 482	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	8, 9, 10, 11, 1, 12	tgbtwntriv2 25382	. . . . . 6
38	37	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$
39	11	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ TarskiG
40	39	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ TarskiG
41	20	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
42	16	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
43	18	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	30	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
45		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
46	8, 9, 10, 40, 43, 42, 41, 45	tgbtwncom 25383	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
47		outpasch.2	. . . . . . . . 9
48	8, 9, 10, 11, 12, 18, 20, 47	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8
49	48	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
50	8, 9, 10, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 49	tgbtwnexch3 25389	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
51	39	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ TarskiG
52	30	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
53	18	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
54	16	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
55	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
56		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
57	8, 9, 10, 11, 16, 20	tgbtwntriv2 25382	. . . . . . . . . . . 12
58	57	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
59	56, 58	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
60		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
61	59, 60	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
62	61	neqned 2801	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
63	47	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
64		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
65	8, 9, 10, 51, 52, 53, 55, 54, 62, 63, 64	tgbtwnouttr 25392	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
66	8, 9, 10, 51, 52, 53, 54, 65	tgbtwncom 25383	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
67		outpasch.l	. . . . . . . . . . 11 LineG
68	8, 67, 10, 11, 18, 20, 16	tgcolg 25449	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$
69	68	biimpa 501	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
70		3orcoma 1046	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
71		3orass 1040	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
72	70, 71	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
73	69, 72	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
74	73	ord 392	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$
75	74	imp 445	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
76	50, 66, 75	mpjaodan 827	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$
77	38, 76	jca 554	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
78	30, 36, 77	rspcedvd 3317	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
79	29, 78	pm2.61dan 832	. 2 $/\$ $\/$ $/\$
80	12	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$
81	35	adantl 482	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	37	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$
83	11	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ TarskiG
84	16	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
85	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
86	20	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
87		simplr 792	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
88		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
89	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ TarskiG
90	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
91	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
92	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$
93		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$
94	8, 10, 67, 89, 90, 91, 92, 93	ncolne1 25520	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
95	8, 10, 67, 89, 90, 91, 94	tglinerflx2 25529	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
97	8, 67, 10, 89, 91, 92, 90, 93	ncolcom 25456	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
98	8, 67, 10, 89, 92, 91, 90, 97	ncolrot1 25457	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$
99	8, 10, 67, 89, 92, 91, 90, 98	ncolne1 25520	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
100	99	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
101	48	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
102	8, 10, 67, 83, 86, 85, 80, 100, 101	btwnlng3 25516	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
103	8, 10, 67, 83, 86, 85, 100	tglinerflx2 25529	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
104	8, 10, 67, 83, 84, 85, 86, 85, 87, 88, 96, 102, 103	tglineinteq 25540	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
105	8, 9, 10, 11, 16, 12	tgbtwntriv2 25382	. . . . . . 7
106	105	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
107	104, 106	eqeltrrd 2702	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$
108	82, 107	jca 554	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
109	80, 81, 108	rspcedvd 3317	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
110		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10
111	110	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9
112	111	anbi2i 730	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
113	112	opabbii 4717	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
114	89	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ TarskiG
115	90	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
116	91	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
117	94	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
118	8, 10, 67, 114, 115, 116, 117	tgelrnln 25525	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
119		eqid 2622	. . . . . . 7 hlG hlG
120	20	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
121	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
122	12	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
123	122	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
124	95	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
125	8, 67, 10, 89, 91, 92, 90, 93	ncolrot2 25458	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$
126		pm2.45 412	. . . . . . . . . 10 $\/$
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
128	127	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
129		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
130	48	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
131	8, 9, 10, 113, 120, 123, 124, 128, 129, 130	islnoppd 25632	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
132	8, 10, 67, 89, 90, 91, 94	tglinerflx1 25528	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
133	132	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
134	23	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
135	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$
136	8, 10, 67, 89, 92, 90, 91, 125	ncolne1 25520	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$
138	8, 9, 10, 114, 115, 120, 121, 135, 137	tgbtwnne 25385	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$
139	138	necomd 2849	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
140	8, 10, 119, 121, 115, 120, 114, 121, 134, 139, 137	btwnhl2 25508	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ hlG
141	8, 9, 10, 113, 67, 118, 114, 119, 120, 121, 123, 131, 133, 140	opphl 25646	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
142	8, 9, 10, 113, 121, 123	islnopp 25631	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	simprd 479	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$
145	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ TarskiG
146	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
147		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
148	8, 67, 10, 145, 146, 147	tglnpt 25444	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
149		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
150	145	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ TarskiG
151	90	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
152	151	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	91	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
155	154	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	93	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
157		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	117	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	148	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	94	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
161	160	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	147	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	8, 10, 67, 150, 153, 152, 159, 161, 162	lncom 25517	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	8, 10, 67, 150, 159, 153, 152, 157, 163, 164	coltr3 25543	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	8, 10, 67, 150, 152, 153, 157, 158, 165	lncom 25517	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	95	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	99	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	123	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
170	169	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	99	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
172	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
173	8, 10, 67, 89, 91, 92, 122, 171, 172	btwnlng2 25515	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
174	173	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	8, 9, 10, 150, 155, 157, 170, 175	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	8, 10, 67, 150, 170, 153, 155, 157, 174, 176	coltr3 25543	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	8, 10, 67, 150, 155, 153, 157, 168, 177	lncom 25517	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	8, 10, 67, 89, 92, 91, 99	tglinerflx2 25529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$
180	179	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	8, 10, 67, 150, 152, 153, 155, 153, 156, 166, 167, 178, 180	tglineinteq 25540	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	8, 9, 10, 150, 159, 157, 152, 164	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	181, 182	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
185	8, 9, 10, 145, 184, 148, 169, 149	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
186	24	ad4antr 768	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
187	8, 9, 10, 145, 169, 151, 184, 148, 154, 185, 186	axtgpasch 25366	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	183, 187	r19.29a 3078	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
189	148, 149, 188	jca32 558	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	anasss 679	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	ex 450	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	191	reximdv2 3014	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
193	144, 192	mpd 15	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
194	109, 193	pm2.61dan 832	. 2 $/\$ $\/$ $/\$
195	79, 194	pm2.61dan 832	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 $\$ cdif 3571 class class class wbr 4653

copab 4712

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cds 15950 TarskiGcstrkg 25329 Itvcitv 25335 LineGclng 25336 hlGchlg 25495

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-s1 13302 df-s2 13593 df-s3 13594 df-trkgc 25347 df-trkgb 25348 df-trkgcb 25349 df-trkgld 25351 df-trkg 25352 df-cgrg 25406 df-leg 25478 df-hlg 25496 df-mir 25548 df-rag 25589 df-perpg 25591

This theorem is referenced by: hlpasch 25648

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