Theorem bnj601 30990

Description: Technical lemma for bnj852 30991. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj601.1	|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( x , A , R ) )
bnj601.2	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj601.3	|- D = ( om \ { (/) } )
bnj601.4	|- ( ch <-> ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> E! f ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
bnj601.5	|- ( th <-> A. m e. D ( m _E n -> [. m / n ]. ch ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj601	|- ( n =/= 1o -> ( ( n e. D /\ th ) -> ch ) )

Distinct variable groups:   A, f, i, m, n, y   D, f, i   R, f, i, m, n, y   x, f, m, n   ph, i, m   ps, m

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f, n)   ps( x, y, f, i, n)   ch( x, y, f, i, m, n)   th( x, y, f, i, m, n)   A( x)   D( x, y, m, n)   R( x)

Proof of Theorem bnj601

Dummy variables p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj601.1	. 2 |- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( x , A , R ) )
2		bnj601.2	. 2 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		bnj601.3	. 2 |- D = ( om \ { (/) } )
4		bnj601.4	. 2 |- ( ch <-> ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> E! f ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
5		bnj601.5	. 2 |- ( th <-> A. m e. D ( m _E n -> [. m / n ]. ch ) )
6		biid 251	. 2 |- ( [. m / n ]. ph <-> [. m / n ]. ph )
7		biid 251	. 2 |- ( [. m / n ]. ps <-> [. m / n ]. ps )
8		biid 251	. 2 |- ( [. m / n ]. ch <-> [. m / n ]. ch )
9		bnj602 30985	. . . . . . 7 |- ( y = z -> pred ( y , A , R ) = pred ( z , A , R ) )
10	9	cbviunv 4559	. . . . . 6 |- U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) = U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R )
11	10	opeq2i 4406	. . . . 5 |- <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. = <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >.
12	11	sneqi 4188	. . . 4 |- { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } = { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. }
13	12	uneq2i 3764	. . 3 |- ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) = ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } )
14		dfsbcq 3437	. . 3 |- ( ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) = ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) -> ( [. ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. ph <-> [. ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) / f ]. ph ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 |- ( [. ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. ph <-> [. ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) / f ]. ph )
16		dfsbcq 3437	. . 3 |- ( ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) = ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) -> ( [. ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. ps <-> [. ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) / f ]. ps ) )
17	13, 16	ax-mp 5	. 2 |- ( [. ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. ps <-> [. ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) / f ]. ps )
18		dfsbcq 3437	. . 3 |- ( ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) = ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) -> ( [. ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. ch <-> [. ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) / f ]. ch ) )
19	13, 18	ax-mp 5	. 2 |- ( [. ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } ) / f ]. ch <-> [. ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) / f ]. ch )
20	13	eqcomi 2631	. 2 |- ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) = ( f u. { <. m , U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) >. } )
21		biid 251	. 2 |- ( ( f Fn m /\ [. m / n ]. ph /\ [. m / n ]. ps ) <-> ( f Fn m /\ [. m / n ]. ph /\ [. m / n ]. ps ) )
22		biid 251	. 2 |- ( ( m e. D /\ n = suc m /\ p e. m ) <-> ( m e. D /\ n = suc m /\ p e. m ) )
23		biid 251	. 2 |- ( ( m e. D /\ n = suc m /\ p e. om /\ m = suc p ) <-> ( m e. D /\ n = suc m /\ p e. om /\ m = suc p ) )
24		biid 251	. 2 |- ( ( i e. om /\ suc i e. n /\ m = suc i ) <-> ( i e. om /\ suc i e. n /\ m = suc i ) )
25		biid 251	. 2 |- ( ( i e. om /\ suc i e. n /\ m =/= suc i ) <-> ( i e. om /\ suc i e. n /\ m =/= suc i ) )
26		eqid 2622	. 2 |- U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R )
27		eqid 2622	. 2 |- U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( f ` p ) pred ( y , A , R )
28		eqid 2622	. 2 |- U_ y e. ( ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) ` i ) pred ( y , A , R )
29		eqid 2622	. 2 |- U_ y e. ( ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) ` p ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( ( f u. { <. m , U_ z e. ( f ` p ) pred ( z , A , R ) >. } ) ` p ) pred ( y , A , R )
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 20	bnj600 30989	1 |- ( n =/= 1o -> ( ( n e. D /\ th ) -> ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   A.wral 2912   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   _E cep 5028   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   /\ w-bnj17 30752   predc-bnj14 30754   FrSe w-bnj15 30758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj13 30757  df-bnj15 30759

This theorem is referenced by:  bnj852  30991