Theorem caragendifcl 40728

Description: The Caratheodory's construction is closed under the complement operation. Second part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragendifcl.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caragendifcl.s	|- S = (CaraGen ` O )
caragendifcl.e	|- ( ph -> E e. S )

Assertion

Ref	Expression
caragendifcl	|- ( ph -> ( U. S \ E ) e. S )

Proof of Theorem caragendifcl

Dummy variables x a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragendifcl.o	. 2 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		eqid 2622	. 2 |- U. dom O = U. dom O
3		caragendifcl.s	. 2 |- S = (CaraGen ` O )
4	3	caragenss 40718	. . . . . 6 |- ( O e. OutMeas -> S C_ dom O )
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ dom O )
6	5	unissd 4462	. . . 4 |- ( ph -> U. S C_ U. dom O )
7	6	ssdifssd 3748	. . 3 |- ( ph -> ( U. S \ E ) C_ U. dom O )
8		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (CaraGen ` O ) e. _V
9	3, 8	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- S e. _V
10	9	uniex 6953	. . . . . 6 |- U. S e. _V
11		difexg 4808	. . . . . 6 |- ( U. S e. _V -> ( U. S \ E ) e. _V )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( U. S \ E ) e. _V
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( U. S \ E ) e. _V )
14		elpwg 4166	. . . 4 |- ( ( U. S \ E ) e. _V -> ( ( U. S \ E ) e. ~P U. dom O <-> ( U. S \ E ) C_ U. dom O ) )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( U. S \ E ) e. ~P U. dom O <-> ( U. S \ E ) C_ U. dom O ) )
16	7, 15	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( U. S \ E ) e. ~P U. dom O )
17		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ~P U. dom O -> a C_ U. dom O )
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> a C_ U. dom O )
19	1, 3	caragenuni 40725	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. S = U. dom O )
20	19	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. dom O = U. S )
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> U. dom O = U. S )
22	18, 21	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> a C_ U. S )
23		difin2 3890	. . . . . . 7 |- ( a C_ U. S -> ( a \ E ) = ( ( U. S \ E ) i^i a ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ E ) = ( ( U. S \ E ) i^i a ) )
25		incom 3805	. . . . . . 7 |- ( ( U. S \ E ) i^i a ) = ( a i^i ( U. S \ E ) )
26	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( U. S \ E ) i^i a ) = ( a i^i ( U. S \ E ) ) )
27	24, 26	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a i^i ( U. S \ E ) ) = ( a \ E ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a i^i ( U. S \ E ) ) ) = ( O ` ( a \ E ) ) )
29	22	ssdifd 3746	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ E ) C_ ( U. S \ E ) )
30		sscon 3744	. . . . . . . 8 |- ( ( a \ E ) C_ ( U. S \ E ) -> ( a \ ( U. S \ E ) ) C_ ( a \ ( a \ E ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ ( U. S \ E ) ) C_ ( a \ ( a \ E ) ) )
32		dfin4 3867	. . . . . . . . 9 |- ( a i^i E ) = ( a \ ( a \ E ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a i^i E ) = ( a \ ( a \ E ) ) )
34		eqimss2 3658	. . . . . . . 8 |- ( ( a i^i E ) = ( a \ ( a \ E ) ) -> ( a \ ( a \ E ) ) C_ ( a i^i E ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ ( a \ E ) ) C_ ( a i^i E ) )
36	31, 35	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ ( U. S \ E ) ) C_ ( a i^i E ) )
37		elinel1 3799	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( a i^i E ) -> x e. a )
38		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( a i^i E ) -> x e. E )
39		elndif 3734	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. E -> -. x e. ( U. S \ E ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( a i^i E ) -> -. x e. ( U. S \ E ) )
41	37, 40	eldifd 3585	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( a i^i E ) -> x e. ( a \ ( U. S \ E ) ) )
42	41	ssriv 3607	. . . . . . 7 |- ( a i^i E ) C_ ( a \ ( U. S \ E ) )
43	42	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a i^i E ) C_ ( a \ ( U. S \ E ) ) )
44	36, 43	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ ( U. S \ E ) ) = ( a i^i E ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a \ ( U. S \ E ) ) ) = ( O ` ( a i^i E ) ) )
46	28, 45	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i ( U. S \ E ) ) ) +e ( O ` ( a \ ( U. S \ E ) ) ) ) = ( ( O ` ( a \ E ) ) +e ( O ` ( a i^i E ) ) ) )
47		iccssxr 12256	. . . . 5 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
48	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> O e. OutMeas )
49	18	ssdifssd 3748	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ E ) C_ U. dom O )
50	48, 2, 49	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a \ E ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	47, 50	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a \ E ) ) e. RR* )
52		ssinss1 3841	. . . . . . . 8 |- ( a C_ U. dom O -> ( a i^i E ) C_ U. dom O )
53	17, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( a e. ~P U. dom O -> ( a i^i E ) C_ U. dom O )
54	53	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a i^i E ) C_ U. dom O )
55	48, 2, 54	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a i^i E ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
56	47, 55	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a i^i E ) ) e. RR* )
57	51, 56	xaddcomd 39540	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a \ E ) ) +e ( O ` ( a i^i E ) ) ) = ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) )
58		caragendifcl.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. S )
59	1, 3	caragenel 40709	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E e. S <-> ( E e. ~P U. dom O /\ A. a e. ~P U. dom O ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) = ( O ` a ) ) ) )
60	58, 59	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. ~P U. dom O /\ A. a e. ~P U. dom O ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) = ( O ` a ) ) )
61	60	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. ~P U. dom O ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) = ( O ` a ) )
62	61	r19.21bi 2932	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) = ( O ` a ) )
63	46, 57, 62	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i ( U. S \ E ) ) ) +e ( O ` ( a \ ( U. S \ E ) ) ) ) = ( O ` a ) )
64	1, 2, 3, 16, 63	carageneld 40716	1 |- ( ph -> ( U. S \ E ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  caragensal  40739