Theorem iccssxr 12256

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	|- ( A [,] B ) C_ RR*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 12182	. 2 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
2	1	ixxssxr 12187	1 |- ( A [,] B ) C_ RR*

Syntax hints:   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-xr 10078  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xrge0nre  12277  supicclub2  12323  lecldbas  21023  ordtresticc  21027  prdsxmetlem  22173  xrge0gsumle  22636  xrge0tsms  22637  metdscn  22659  iccpnfhmeo  22744  xrhmeo  22745  volsup  23324  volsup2  23373  volivth  23375  itg2le  23506  itg2const2  23508  itg2lea  23511  itg2eqa  23512  itg2split  23516  itg2gt0  23527  dvgt0lem1  23765  radcnvlt1  24172  radcnvle  24174  pserulm  24176  psercnlem2  24178  psercnlem1  24179  psercn  24180  pserdvlem1  24181  pserdvlem2  24182  abelthlem3  24187  abelth  24195  logtayl  24406  xrge0infss  29525  xrge0infssd  29526  xrge0subcld  29528  infxrge0lb  29529  infxrge0glb  29530  infxrge0gelb  29531  xrge0base  29685  xrge00  29686  xrge0mulgnn0  29689  xrge0addass  29690  xrge0addgt0  29691  xrge0adddir  29692  xrge0adddi  29693  xrge0npcan  29694  xrge0omnd  29711  xrge0tsmsd  29785  xrge0slmod  29844  xrge0iifiso  29981  xrge0iifhmeo  29982  xrge0pluscn  29986  xrge0mulc1cn  29987  xrge0tmdOLD  29991  lmlimxrge0  29994  pnfneige0  29997  lmxrge0  29998  esummono  30116  esumpad  30117  esumpad2  30118  esumle  30120  gsumesum  30121  esumlub  30122  esumlef  30124  esumcst  30125  esumrnmpt2  30130  esumfsup  30132  esumpinfval  30135  esumpfinvallem  30136  esumpinfsum  30139  esumpmono  30141  esummulc2  30144  esumdivc  30145  hasheuni  30147  esumcvg  30148  esumgect  30152  esumcvgre  30153  esum2d  30155  measun  30274  measunl  30279  measiun  30281  voliune  30292  volfiniune  30293  ddemeas  30299  omsfval  30356  omsf  30358  oms0  30359  omssubaddlem  30361  omssubadd  30362  baselcarsg  30368  0elcarsg  30369  difelcarsg  30372  inelcarsg  30373  carsgsigalem  30377  carsggect  30380  carsgclctunlem2  30381  carsgclctunlem3  30382  carsgclctun  30383  omsmeas  30385  pmeasmono  30386  probmeasb  30492  mblfinlem1  33446  itg2addnclem  33461  ftc1anc  33493  xadd0ge  39536  xrge0nemnfd  39548  xadd0ge2  39557  eliccxr  39737  ge0lere  39759  inficc  39761  iccdificc  39766  fourierdlem1  40325  fourierdlem20  40344  fourierdlem27  40351  fourierdlem87  40410  fge0iccico  40587  gsumge0cl  40588  sge0sn  40596  sge0tsms  40597  sge0xrcl  40602  sge0pr  40611  sge0prle  40618  sge0le  40624  sge0split  40626  sge0p1  40631  sge0rernmpt  40639  sge0xrclmpt  40645  sge0xadd  40652  meaxrcl  40678  meadjun  40679  voliunsge0lem  40689  caragen0  40720  omexrcl  40721  caragenunidm  40722  caragendifcl  40728  omeunle  40730  omeiunle  40731  carageniuncl  40737  ovn0lem  40779  ovnxrcl  40783  hoidmvlelem3  40811  hoidmvlelem4  40812  vonxrcl  40882