cdleme22b - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cdleme22b 35629

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t $\/$ v =/= p $\/$ q and s

p $\/$ q implies

p $\/$ q. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cdleme22.l
cdleme22.j	$.\/$
cdleme22.m	$./\$
cdleme22.a
cdleme22.h

**Assertion**
Ref	Expression
cdleme22b	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$

**Proof of Theorem cdleme22b**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1085	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
2		simp1r1 1157	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
3		simp1r2 1158	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
4		simp1r3 1159	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
5		cdleme22.j	. . . . . . 7 $.\/$
6		cdleme22.a	. . . . . . 7
7		eqid 2622	. . . . . . 7
8	5, 6, 7	llni2 34798	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1329	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
10	6, 7	llnneat 34800	. . . . 5 $/\$ $.\/$ $.\/$
11	1, 9, 10	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
12		eqid 2622	. . . . . 6
13	12, 7	llnn0 34802	. . . . 5 $/\$ $.\/$ $.\/$
14	1, 9, 13	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
15	11, 14	jca 554	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
16		df-ne 2795	. . . . 5 $.\/$ $.\/$
17	16	anbi2i 730	. . . 4 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
18		pm4.56 516	. . . 4 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
19	17, 18	bitri 264	. . 3 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
20	15, 19	sylib 208	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
21		simp3r2 1170	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
22		simp3l 1089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
23		cdleme22.l	. . . . . . . . 9
24	23, 5, 6	hlatlej1 34661	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
25	1, 3, 22, 24	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
26		hllat 34650	. . . . . . . . 9
27	1, 26	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
28		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
29	28, 6	atbase 34576	. . . . . . . . 9
30	2, 29	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
31	28, 6	atbase 34576	. . . . . . . . 9
32	3, 31	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
33	28, 5, 6	hlatjcl 34653	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
34	1, 3, 22, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
35	28, 23, 5	latjle12 17062	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
36	27, 30, 32, 34, 35	syl13anc 1328	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
37	21, 25, 36	mpbi2and 956	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
38	37	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
39		simp3r3 1171	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
40	39	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
41		simpr 477	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
42		simp21 1094	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
43		simp22 1095	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
44	28, 5, 6	hlatjcl 34653	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
45	1, 42, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
46	28, 23, 5	latjle12 17062	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
47	27, 30, 32, 45, 46	syl13anc 1328	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
48	47	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
49	40, 41, 48	mpbi2and 956	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
50	28, 5, 6	hlatjcl 34653	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
51	1, 2, 3, 50	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
52		cdleme22.m	. . . . . . . 8 $./\$
53	28, 23, 52	latlem12 17078	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
54	27, 51, 34, 45, 53	syl13anc 1328	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
55	54	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
56	38, 49, 55	mpbi2and 956	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
57	56	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
58		hlop 34649	. . . . . . . 8
59	1, 58	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
60	59	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
61	51	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
62		simprl 794	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
63		simprr 796	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
64	28, 23, 12, 6	leat3 34582	. . . . . 6 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
65	60, 61, 62, 63, 64	syl31anc 1329	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
66	65	exp32 631	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
67		breq2 4657	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
68	67	biimpa 501	. . . . . . . 8 $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
69	28, 23, 12	ople0 34474	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70	59, 51, 69	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71	68, 70	syl5ib 234	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
72	71	imp 445	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
73	72	olcd 408	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
74	73	exp32 631	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
75		simp3r1 1169	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
76	5, 52, 12, 6	2atmat0 34812	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
77	1, 3, 22, 42, 43, 75, 76	syl33anc 1341	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
78	66, 74, 77	mpjaod 396	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
79	57, 78	syld 47	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
80	20, 79	mtod 189	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

cmee 16945

cp0 17037

clat 17045

cops 34459

catm 34550

chlt 34637

clln 34777

clh 35270

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-p1 17040 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-llines 34784

This theorem is referenced by: cdleme22cN 35630 cdleme27a 35655

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