Theorem latjle12 17062

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 28368 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	|- B = ( Base ` K )
latlej.l	|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
latjle12	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Z /\ Y .<_ Z ) <-> ( X .\/ Y ) .<_ Z ) )

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		latlej.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		latlej.j	. 2 |- .\/ = ( join ` K )
4		latpos 17050	. . 3 |- ( K e. Lat -> K e. Poset )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Poset )
6		simpr1 1067	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
7		simpr2 1068	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
8		simpr3 1069	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
10		simpl 473	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 17048	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( <. X , Y >. e. dom .\/ /\ <. X , Y >. e. dom ( meet ` K ) ) )
12	11	simpld 475	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> <. X , Y >. e. dom .\/ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 17014	1 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Z /\ Y .<_ Z ) <-> ( X .\/ Y ) .<_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-poset 16946  df-lub 16974  df-join 16976  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latleeqj1  17063  latjlej1  17065  latjidm  17074  latledi  17089  latjass  17095  mod1ile  17105  lubun  17123  oldmm1  34504  olj01  34512  cvlexchb1  34617  cvlcvr1  34626  hlrelat  34688  hlrelat2  34689  exatleN  34690  hlrelat3  34698  cvrexchlem  34705  cvratlem  34707  cvrat  34708  atlelt  34724  ps-1  34763  hlatexch3N  34766  hlatexch4  34767  3atlem1  34769  3atlem2  34770  lplnexllnN  34850  2llnjaN  34852  4atlem3  34882  4atlem10  34892  4atlem11b  34894  4atlem11  34895  4atlem12b  34897  4atlem12  34898  2lplnja  34905  dalem1  34945  dalem3  34950  dalem8  34956  dalem16  34965  dalem17  34966  dalem21  34980  dalem25  34984  dalem39  34997  dalem54  35012  dalem60  35018  linepsubN  35038  pmapsub  35054  lneq2at  35064  2llnma3r  35074  cdlema1N  35077  cdlemblem  35079  paddasslem5  35110  paddasslem12  35117  paddasslem13  35118  llnexchb2  35155  dalawlem3  35159  dalawlem5  35161  dalawlem8  35164  dalawlem11  35167  dalawlem12  35168  lhp2lt  35287  lhpexle2lem  35295  lhpexle3lem  35297  4atexlemtlw  35353  4atexlemnclw  35356  lautj  35379  cdlemd3  35487  cdleme3g  35521  cdleme3h  35522  cdleme7d  35533  cdleme11c  35548  cdleme15d  35564  cdleme17b  35574  cdleme19a  35591  cdleme20j  35606  cdleme21c  35615  cdleme22b  35629  cdleme22d  35631  cdleme28a  35658  cdleme35a  35736  cdleme35fnpq  35737  cdleme35b  35738  cdleme35f  35742  cdleme42c  35760  cdleme42i  35771  cdlemf1  35849  cdlemg4c  35900  cdlemg6c  35908  cdlemg8b  35916  cdlemg10  35929  cdlemg11b  35930  cdlemg13a  35939  cdlemg17a  35949  cdlemg18b  35967  cdlemg27a  35980  cdlemg33b0  35989  cdlemg35  36001  cdlemg42  36017  cdlemg46  36023  trljco  36028  tendopltp  36068  cdlemk3  36121  cdlemk10  36131  cdlemk1u  36147  cdlemk39  36204  dialss  36335  dia2dimlem1  36353  dia2dimlem10  36362  dia2dimlem12  36364  cdlemm10N  36407  djajN  36426  diblss  36459  cdlemn2  36484  dihord2pre2  36515  dib2dim  36532  dih2dimb  36533  dih2dimbALTN  36534  dihmeetlem6  36598  dihjatcclem1  36707