Theorem latlem12 17078

Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	|- B = ( Base ` K )
latmle.l	|- .<_ = ( le ` K )
latmle.m	|- ./\ = ( meet ` K )

Assertion

Ref	Expression
latlem12	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ X .<_ Z ) <-> X .<_ ( Y ./\ Z ) ) )

Proof of Theorem latlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		latmle.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		latmle.m	. 2 |- ./\ = ( meet ` K )
4		latpos 17050	. . 3 |- ( K e. Lat -> K e. Poset )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Poset )
6		simpr2 1068	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
7		simpr3 1069	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
8		simpr1 1067	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
10		simpl 473	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
11	1, 9, 3, 10, 6, 7	latcl2 17048	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( <. Y , Z >. e. dom ( join ` K ) /\ <. Y , Z >. e. dom ./\ ) )
12	11	simprd 479	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> <. Y , Z >. e. dom ./\ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	meetle 17028	1 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ X .<_ Z ) <-> X .<_ ( Y ./\ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-poset 16946  df-glb 16975  df-meet 16977  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latleeqm1  17079  latmlem1  17081  latmidm  17086  latledi  17089  mod1ile  17105  oldmm1  34504  olm01  34523  cmtbr4N  34542  atnle  34604  atlatmstc  34606  hlrelat2  34689  cvrval5  34701  cvrexchlem  34705  2atjm  34731  atbtwn  34732  ps-2b  34768  2atm  34813  2llnm4  34856  2llnmeqat  34857  dalemcea  34946  dalem21  34980  dalem54  35012  dalem55  35013  dalem57  35015  2atm2atN  35071  2llnma1b  35072  cdlemblem  35079  dalawlem2  35158  dalawlem3  35159  dalawlem6  35162  dalawlem11  35167  dalawlem12  35168  lhpocnle  35302  lhpmcvr4N  35312  lhpat3  35332  4atexlemcnd  35358  lautm  35380  trlval3  35474  cdlemc5  35482  cdleme3  35524  cdleme7ga  35535  cdleme7  35536  cdleme11k  35555  cdleme16e  35569  cdleme16f  35570  cdlemednpq  35586  cdleme22aa  35627  cdleme22b  35629  cdleme22cN  35630  cdleme23c  35639  cdlemeg46req  35817  cdlemf2  35850  cdlemg10c  35927  cdlemg12f  35936  cdlemg17dALTN  35952  cdlemg19a  35971  cdlemg27b  35984  cdlemi  36108  cdlemk15  36143  cdlemk50  36240  dia2dimlem1  36353  dihopelvalcpre  36537  dihord5b  36548  dihmeetlem1N  36579  dihglblem5apreN  36580  dihglblem2N  36583  dihmeetlem3N  36594