Theorem cdlemg46 36023

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg46.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemg46.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg46.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg46.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemg46	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )

Distinct variable groups:   h, F   h, H   h, K   R, h   T, h   h, W

Allowed substitution hint:   B( h)

Proof of Theorem cdlemg46

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1112	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. HL )
2		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp2r 1088	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> h e. T )
4		simp32 1098	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> h =/= ( _I |` B ) )
5		cdlemg46.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
7		cdlemg46.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
8		cdlemg46.t	. . . . . 6 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
9		cdlemg46.r	. . . . . 6 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
10	5, 6, 7, 8, 9	trlnidat 35460	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ h e. T /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` h ) e. ( Atoms ` K ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` h ) e. ( Atoms ` K ) )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` h ) e. ( Atoms ` K ) )
13		simp2l 1087	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> F e. T )
14		simp31 1097	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> F =/= ( _I |` B ) )
15	5, 6, 7, 8, 9	trlnidat 35460	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) )
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) )
18		simpl33 1144	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` h ) =/= ( R ` F ) )
19		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) )
20	7, 8	ltrnco 36007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ h e. T /\ F e. T ) -> ( h o. F ) e. T )
21	2, 3, 13, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. F ) e. T )
22	7, 8	ltrncnv 35432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
23	2, 13, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> `' F e. T )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
25		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
26	24, 25, 7, 8, 9	trlco 36015	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( h o. F ) e. T /\ `' F e. T ) -> ( R ` ( ( h o. F ) o. `' F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` `' F ) ) )
27	2, 21, 23, 26	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( ( h o. F ) o. `' F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` `' F ) ) )
28		coass 5654	. . . . . . . 8 |- ( ( h o. F ) o. `' F ) = ( h o. ( F o. `' F ) )
29	5, 7, 8	ltrn1o 35410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
30	2, 13, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
31		f1ococnv2 6163	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
33	32	coeq2d 5284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. ( F o. `' F ) ) = ( h o. ( _I |` B ) ) )
34	5, 7, 8	ltrn1o 35410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ h e. T ) -> h : B -1-1-onto-> B )
35	2, 3, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> h : B -1-1-onto-> B )
36		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( h : B -1-1-onto-> B -> h : B --> B )
37		fcoi1 6078	. . . . . . . . . 10 |- ( h : B --> B -> ( h o. ( _I |` B ) ) = h )
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. ( _I |` B ) ) = h )
39	33, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. ( F o. `' F ) ) = h )
40	28, 39	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( h o. F ) o. `' F ) = h )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( ( h o. F ) o. `' F ) ) = ( R ` h ) )
42	7, 8, 9	trlcnv 35452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
43	2, 13, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` `' F ) ) = ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) )
45	27, 41, 44	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` h ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) )
46	45	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` h ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) )
47	24, 25, 6	hlatlej2 34662	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) )
48	1, 19, 17, 47	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) )
49		hllat 34650	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
50	1, 49	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. Lat )
51	5, 6	atbase 34576	. . . . . 6 |- ( ( R ` h ) e. ( Atoms ` K ) -> ( R ` h ) e. B )
52	12, 51	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` h ) e. B )
53	5, 6	atbase 34576	. . . . . 6 |- ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) -> ( R ` F ) e. B )
54	17, 53	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` F ) e. B )
55	5, 25, 6	hlatjcl 34653	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) e. B )
56	1, 19, 17, 55	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) e. B )
57	5, 24, 25	latjle12 17062	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` h ) e. B /\ ( R ` F ) e. B /\ ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) e. B ) ) -> ( ( ( R ` h ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ) <-> ( ( R ` h ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ) )
58	50, 52, 54, 56, 57	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( R ` h ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ) <-> ( ( R ` h ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ) )
59	46, 48, 58	mpbi2and 956	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( R ` h ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) )
60	24, 25, 6	2atjlej 34765	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( ( R ` h ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) /\ ( ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( ( R ` h ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ( le ` K ) ( ( R ` ( h o. F ) ) ( join ` K ) ( R ` F ) ) ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )
61	1, 12, 17, 18, 19, 17, 59, 60	syl133anc 1349	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )
62		nelne2 2891	. . . 4 |- ( ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` ( h o. F ) ) )
63	62	necomd 2849	. . 3 |- ( ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) /\ -. ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )
64	16, 63	sylan 488	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) /\ -. ( R ` ( h o. F ) ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )
65	61, 64	pm2.61dan 832	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemg47  36024