Theorem cdlemg47 36024

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg46.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemg46.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg46.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg46.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemg47	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( F o. G ) = ( G o. F ) )

Distinct variable groups:   h, F   h, H   h, K   R, h   T, h   h, W

Allowed substitution hints:   B( h)   G( h)

Proof of Theorem cdlemg47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1091	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simp2l 1087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> h e. T )
3		simp12 1092	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> F e. T )
4		cdlemg46.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
5		cdlemg46.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6	4, 5	ltrnco 36007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ h e. T /\ F e. T ) -> ( h o. F ) e. T )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. F ) e. T )
8		simp13 1093	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> G e. T )
9		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) )
10		cdlemg46.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
11		cdlemg46.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
12	10, 4, 5, 11	cdlemg46 36023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ h e. T ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )
13	1, 3, 2, 9, 12	syl121anc 1331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` F ) )
14		simp2r 1088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` G ) )
15	13, 14	neeqtrd 2863	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` G ) )
16	4, 5, 11	cdlemg44 36021	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( h o. F ) e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` ( h o. F ) ) =/= ( R ` G ) ) -> ( ( h o. F ) o. G ) = ( G o. ( h o. F ) ) )
17	1, 7, 8, 15, 16	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( h o. F ) o. G ) = ( G o. ( h o. F ) ) )
18		coass 5654	. . . . . 6 |- ( ( G o. h ) o. F ) = ( G o. ( h o. F ) )
19	17, 18	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( h o. F ) o. G ) = ( ( G o. h ) o. F ) )
20		simp33 1099	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` h ) =/= ( R ` F ) )
21	20, 14	neeqtrd 2863	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( R ` h ) =/= ( R ` G ) )
22	4, 5, 11	cdlemg44 36021	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( h e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` G ) ) -> ( h o. G ) = ( G o. h ) )
23	1, 2, 8, 21, 22	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. G ) = ( G o. h ) )
24	23	coeq1d 5283	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( h o. G ) o. F ) = ( ( G o. h ) o. F ) )
25	19, 24	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( h o. F ) o. G ) = ( ( h o. G ) o. F ) )
26		coass 5654	. . . 4 |- ( ( h o. F ) o. G ) = ( h o. ( F o. G ) )
27		coass 5654	. . . 4 |- ( ( h o. G ) o. F ) = ( h o. ( G o. F ) )
28	25, 26, 27	3eqtr3g 2679	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( h o. ( F o. G ) ) = ( h o. ( G o. F ) ) )
29	28	coeq2d 5284	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( `' h o. ( h o. ( F o. G ) ) ) = ( `' h o. ( h o. ( G o. F ) ) ) )
30		coass 5654	. . . 4 |- ( ( `' h o. h ) o. ( F o. G ) ) = ( `' h o. ( h o. ( F o. G ) ) )
31	10, 4, 5	ltrn1o 35410	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ h e. T ) -> h : B -1-1-onto-> B )
32	1, 2, 31	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> h : B -1-1-onto-> B )
33		f1ococnv1 6165	. . . . . 6 |- ( h : B -1-1-onto-> B -> ( `' h o. h ) = ( _I |` B ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( `' h o. h ) = ( _I |` B ) )
35	34	coeq1d 5283	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( `' h o. h ) o. ( F o. G ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( F o. G ) ) )
36	30, 35	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( `' h o. ( h o. ( F o. G ) ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( F o. G ) ) )
37	4, 5	ltrnco 36007	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
38	1, 3, 8, 37	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( F o. G ) e. T )
39	10, 4, 5	ltrn1o 35410	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( F o. G ) : B -1-1-onto-> B )
40	1, 38, 39	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( F o. G ) : B -1-1-onto-> B )
41		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( F o. G ) : B -1-1-onto-> B -> ( F o. G ) : B --> B )
42		fcoi2 6079	. . . 4 |- ( ( F o. G ) : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( F o. G ) ) = ( F o. G ) )
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( F o. G ) ) = ( F o. G ) )
44	36, 43	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( `' h o. ( h o. ( F o. G ) ) ) = ( F o. G ) )
45		coass 5654	. . . 4 |- ( ( `' h o. h ) o. ( G o. F ) ) = ( `' h o. ( h o. ( G o. F ) ) )
46	34	coeq1d 5283	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( `' h o. h ) o. ( G o. F ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( G o. F ) ) )
47	45, 46	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( `' h o. ( h o. ( G o. F ) ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( G o. F ) ) )
48	4, 5	ltrnco 36007	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ F e. T ) -> ( G o. F ) e. T )
49	1, 8, 3, 48	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( G o. F ) e. T )
50	10, 4, 5	ltrn1o 35410	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. F ) e. T ) -> ( G o. F ) : B -1-1-onto-> B )
51	1, 49, 50	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( G o. F ) : B -1-1-onto-> B )
52		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( G o. F ) : B -1-1-onto-> B -> ( G o. F ) : B --> B )
53		fcoi2 6079	. . . 4 |- ( ( G o. F ) : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( G o. F ) ) = ( G o. F ) )
54	51, 52, 53	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( G o. F ) ) = ( G o. F ) )
55	47, 54	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( `' h o. ( h o. ( G o. F ) ) ) = ( G o. F ) )
56	29, 44, 55	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( h e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` G ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ h =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` h ) =/= ( R ` F ) ) ) -> ( F o. G ) = ( G o. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemg48  36025