Theorem cdlemk55a 36247

Description: Lemma for cdlemk55 36249. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z	|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y	|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x	|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk55a	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )

Distinct variable groups:   ./\ , g   .\/ , g   B, g   P, g   R, g   T, g   g, Z   g, b, G, z   ./\ , b, z   .<_ , b   z, g, .<_   .\/ , b, z   A, b, g, z   B, b, z   F, b, g, z   z, G   H, b, g, z   K, b, g, z   N, b, g, z   P, b, z   R, b, z   T, b, z   W, b, g, z   z, Y   G, b   I, b, g, z   j, b, g, z

Allowed substitution hints:   A( j)   B( j)   P( j)   R( j)   T( j)   F( j)   G( j)   H( j)   I( j)   .\/ ( j)   K( j)   .<_ ( j)   ./\ ( j)   N( j)   W( j)   X( z, g, j, b)   Y( g, j, b)   Z( z, j, b)

Proof of Theorem cdlemk55a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1085	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simp211 1199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> F e. T )
3		simp212 1200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> F =/= ( _I |` B ) )
4	2, 3	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
5		simp32 1098	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> j e. T )
6		simp213 1201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> N e. T )
7		simp23 1096	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
8		simp1r 1086	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
9	7, 8	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
10		cdlemk5.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` K )
11		cdlemk5.l	. . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` K )
12		cdlemk5.j	. . . . . . . . 9 |- .\/ = ( join ` K )
13		cdlemk5.m	. . . . . . . . 9 |- ./\ = ( meet ` K )
14		cdlemk5.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( Atoms ` K )
15		cdlemk5.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
16		cdlemk5.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
17		cdlemk5.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
18		cdlemk5.z	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
19		cdlemk5.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
20		cdlemk5.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 36226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ j e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ j / g ]_ X e. T )
22	1, 4, 5, 6, 9, 21	syl131anc 1339	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ j / g ]_ X e. T )
23	10, 15, 16	ltrn1o 35410	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ j / g ]_ X e. T ) -> [_ j / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
24	1, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ j / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
25		f1ococnv2 6163	. . . . . 6 |- ( [_ j / g ]_ X : B -1-1-onto-> B -> ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( _I |` B ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( _I |` B ) )
27	26	coeq2d 5284	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( _I |` B ) ) )
28		simp22 1095	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> G e. T )
29		simp31l 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> I e. T )
30	15, 16	ltrnco 36007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T )
31	1, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( G o. I ) e. T )
32	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 36226	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G o. I ) e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T )
33	1, 4, 31, 6, 9, 32	syl131anc 1339	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T )
34	10, 15, 16	ltrn1o 35410	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
35	1, 33, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
36		f1of 6137	. . . . 5 |- ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B -1-1-onto-> B -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B --> B )
37		fcoi1 6078	. . . . 5 |- ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B --> B -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( _I |` B ) ) = [_ ( G o. I ) / g ]_ X )
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( _I |` B ) ) = [_ ( G o. I ) / g ]_ X )
39	27, 38	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) )
40		coass 5654	. . 3 |- ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) )
41	39, 40	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) )
42	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk54 36246	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) )
43	42	coeq1d 5283	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) )
44		coass 5654	. . . 4 |- ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) )
45	26	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( _I |` B ) ) )
46	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 36226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
47	1, 4, 28, 6, 9, 46	syl131anc 1339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
48	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	cdlemk35s-id 36226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ I e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
49	1, 4, 29, 6, 9, 48	syl131anc 1339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
50	15, 16	ltrnco 36007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T )
51	1, 47, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T )
52	10, 15, 16	ltrn1o 35410	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B )
53	1, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B )
54		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B --> B )
55		fcoi1 6078	. . . . . 6 |- ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B --> B -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( _I |` B ) ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( _I |` B ) ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
57	45, 56	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
58	44, 57	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
59	43, 58	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
60	41, 59	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   [_csb 3533   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemk55b  36248