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Theorem cjreb 13863
Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) )
Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 13850 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21recnd 10068 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 ax-icn 9995 . . . . . 6 |- _i e. CC
4 imcl 13851 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
54recnd 10068 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 mulcl 10020 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
73, 5, 6sylancr 695 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
82, 7negsubd 10398 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
9 mulneg2 10467 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
103, 5, 9sylancr 695 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
1110oveq2d 6666 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
12 remim 13857 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
138, 11, 123eqtr4rd 2667 . . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) )
14 replim 13856 . . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
1513, 14eqeq12d 2637 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) = A <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
165negcld 10379 . . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
17 mulcl 10020 . . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC )
183, 16, 17sylancr 695 . . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC )
192, 18, 7addcand 10239 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 eqcom 2629 . . . 4 |- ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) )
215eqnegd 10746 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
2220, 21syl5bb 272 . . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
23 ine0 10465 . . . . . 6 |- _i =/= 0
243, 23pm3.2i 471 . . . . 5 |- ( _i e. CC /\ _i =/= 0 )
2524a1i 11 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) )
26 mulcan 10664 . . . 4 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC /\ ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) ) -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) )
2716, 5, 25, 26syl3anc 1326 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) )
28 reim0b 13859 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
2922, 27, 283bitr4d 300 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> A e. RR ) )
3015, 19, 293bitrrd 295 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   *ccj 13836   Recre 13837   Imcim 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841
This theorem is referenced by:  cjre  13879  cjmulrcl  13884  cjrebi  13914  cjrebd  13942  hire  27951
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