Theorem imcl 13851

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 13848	. 2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
2		negicn 10282	. . . 4 |- -u _i e. CC
3		mulcl 10020	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 706	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		recl 13850	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( Re ` ( -u _i x. A ) ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u _i x. A ) ) e. RR )
7	1, 6	eqeltrd 2701	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   x. cmul 9941   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841

This theorem is referenced by:  imf  13853  remim  13857  mulre  13861  cjreb  13863  recj  13864  reneg  13865  readd  13866  remullem  13868  remul2  13870  imcj  13872  imneg  13873  imadd  13874  imsub  13875  immul2  13877  imdiv  13878  cjcj  13880  cjadd  13881  ipcnval  13883  cjmulval  13885  cjmulge0  13886  cjneg  13887  imval2  13891  cnrecnv  13905  imcli  13908  imcld  13935  absrele  14048  efeul  14892  absef  14927  absefib  14928  efieq1re  14929  cnsubrg  19806  mbfconst  23402  itgconst  23585  tanregt0  24285  ellogrn  24306  argimgt0  24358  argimlt0  24359  logneg2  24361  tanarg  24365  logf1o2  24396  logreclem  24500  asinlem3a  24597  asinlem3  24598  zetacvg  24741  sigarls  41046