Theorem climres 14306

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climres	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Proof of Theorem climres

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		resexg 5442	. . 3 |- ( F e. V -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
3	2	adantl 482	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
4		simpr 477	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
5		simpl 473	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
6		fvres 6207	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
7	6	adantl 482	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
8	1, 3, 4, 5, 7	climeq 14298	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |` cres 5116   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  sumrb  14444  divcnvshft  14587  prodrblem2  14661  iscmet3lem3  23088  leibpilem2  24668  lgamcvg2  24781  divcnvlin  31618  radcnvrat  38513  hashnzfzclim  38521  climresmpt  39891  xlimclim2lem  40065  climxlim2  40072