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Theorem lgamcvg2 24781

Description: The series

converges to

. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgamcvg.g
lgamcvg.a	$\$ $\$

**Assertion**
Ref	Expression
lgamcvg2

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem lgamcvg2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3
2		1zzd 11408	. . 3
3		eqid 2622	. . . 4
4		lgamcvg.a	. . . . 5 $\$ $\$
5		1nn0 11308	. . . . . 6
6	5	a1i 11	. . . . 5
7	4, 6	dmgmaddnn0 24753	. . . 4 $\$ $\$
8	3, 7	lgamcvg 24780	. . 3
9		seqex 12803	. . . 4
10	9	a1i 11	. . 3
11	4	eldifad 3586	. . . . . . . 8
12	11	abscld 14175	. . . . . . 7
13		arch 11289	. . . . . . 7
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6
15		eqid 2622	. . . . . . . . 9
16		simprl 794	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	16	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
19	18	logcn 24393	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $\$
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
22	21	dvlog2lem 24398	. . . . . . . . . . 11 $\$
23	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
24		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
28	27	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
29		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
31	27	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
33	23, 30, 32	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
34	33, 29	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
35		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	36	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
38	34, 35, 37	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 29	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
41	23, 30, 32	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
42	31	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
43	31	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
45	42, 44	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
47	41, 46	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
48	38, 40, 47	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
49	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
50	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
52		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
53		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
55		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	50, 27, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
57	54, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	49, 51, 42, 52, 57	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
59	30	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	58, 59	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
61		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
62	49, 61, 43	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
63	60, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
64	48, 63	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
65		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
67		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . 14
68		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . 14
69	67, 68	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
70		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
71	66, 69, 29, 34, 70	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
73	22, 72	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
74		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
75	73, 74	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
76	26	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
77	76	resmptd 5452	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
78	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79		divcnv 14585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	84, 85, 86	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
90	89	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
92	90, 91	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
93	88, 92	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	96, 97, 98	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
101	91	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
102		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
103	101, 102	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
104	91	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
105	104	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	89, 103, 105	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
107	106	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	100, 107	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	89, 103, 105	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
110	104	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
111	104	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
112	111	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
113	110, 112	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
115	109, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
116	91	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
117	89	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
118	91	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
119	118	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
120	116, 111, 90, 117, 119	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
121	115, 120	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
122	121, 100, 88	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
123	106	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
124	123, 100	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
125	1, 2, 80, 83, 93, 108, 122, 124	climsqz2 14372	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	81	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130	95, 128, 129	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
132	131, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
133	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
134	100, 133	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
135	1, 2, 127, 83, 132, 134	climabs0 14316	. . . . . . . . . . . . . . 15
136	125, 135	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14
137		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14
138	81	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . 15
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
140	95	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
141		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
142		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
143	140, 141, 142	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
145	131	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
146	144, 145	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
147	1, 2, 136, 137, 139, 132, 146	climaddc1 14365	. . . . . . . . . . . . 13
148		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . 13
149	147, 148	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . 12
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
151		climres 14306	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
152	17, 138, 151	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
153	150, 152	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
154	77, 153	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
155	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
156	18	ellogdm 24385	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$
157	35, 155, 156	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 $\$
158	157	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
159	15, 17, 20, 75, 154, 158	climcncf 22703	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$
160	18	logdmss 24388	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
161	160, 73	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
162		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
163		logf1o 24311	. . . . . . . . . . . 12 $\$
164		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
165	163, 164	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
166	165	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
167		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
168	161, 162, 166, 167	fmptco 6396	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
169		frn 6053	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
170		cores 5638	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
171	75, 169, 170	3syl 18	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
172	76	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
173	168, 171, 172	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
174		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
175	157, 174	mp1i 13	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
176		log1 24332	. . . . . . . . 9
177	175, 176	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
178	159, 173, 177	3brtr3d 4684	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
179	81	mptex 6486	. . . . . . . 8
180		climres 14306	. . . . . . . 8 $/\$
181	17, 179, 180	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	178, 181	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	14, 182	rexlimddv 3035	. . . . 5
184	11, 137	addcld 10059	. . . . . 6
185	7	dmgmn0 24752	. . . . . 6
186	184, 185	logcld 24317	. . . . 5
187	81	mptex 6486	. . . . . 6
188	187	a1i 11	. . . . 5
189	140	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
190		eqid 2622	. . . . . . . 8
191		fvex 6201	. . . . . . . 8
192	189, 190, 191	fvmpt 6282	. . . . . . 7
193	192	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
194	106, 102	addcld 10059	. . . . . . 7 $/\$
195	4	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
196	195, 104	dmgmdivn0 24754	. . . . . . 7 $/\$
197	194, 196	logcld 24317	. . . . . 6 $/\$
198	193, 197	eqeltrd 2701	. . . . 5 $/\$
199	189	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
200		eqid 2622	. . . . . . . 8
201		ovex 6678	. . . . . . . 8
202	199, 200, 201	fvmpt 6282	. . . . . . 7
203	202	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
204	193	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$
205	203, 204	eqtr4d 2659	. . . . 5 $/\$
206	1, 2, 183, 186, 188, 198, 205	climsubc2 14369	. . . 4
207	186	subid1d 10381	. . . 4
208	206, 207	breqtrd 4679	. . 3
209		elfznn 12370	. . . . . . 7
210	209	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
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220		ovex 6678	. . . . . . 7
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225		1cnd 10056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
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361	357, 360	breqtrd 4679	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

cres 5116

ccom 5118

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

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cxr 10073

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cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cioc 12176

cfz 12326

cseq 12801

cabs 13974

cli 14215

csu 14416

cxmt 19731

cbl 19733

ccncf 22679

clog 24301

clgam 24742

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-ulm 24131 df-log 24303 df-cxp 24304 df-lgam 24745

This theorem is referenced by: lgamp1 24783

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