Theorem divcnvlin 31618

Description: Limit of the ratio of two linear functions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvlin.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
divcnvlin.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
divcnvlin.3	|- ( ph -> A e. CC )
divcnvlin.4	|- ( ph -> B e. ZZ )
divcnvlin.5	|- ( ph -> F e. V )
divcnvlin.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( ( k + A ) / ( k + B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
divcnvlin	|- ( ph -> F ~~> 1 )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, F   ph, k   k, M   k, Z

Allowed substitution hint:   V( k)

Proof of Theorem divcnvlin

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m e. CC )
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
3		divcnvlin.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
4		divcnvlin.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ZZ )
5	4	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
6	3, 5	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( A - B ) e. CC )
8		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
10	2, 7, 2, 9	divdird 10839	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) = ( ( m / m ) + ( ( A - B ) / m ) ) )
11	2, 9	dividd 10799	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m / m ) = 1 )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m / m ) + ( ( A - B ) / m ) ) = ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) )
13	10, 12	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) = ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) )
14	13	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) = ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) )
15		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
17		divcnv 14585	. . . . . 6 |- ( ( A - B ) e. CC -> ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ~~> 0 )
18	6, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ~~> 0 )
19		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
20		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
21	20	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) e. _V
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) e. _V )
23	7, 2, 9	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( A - B ) / m ) e. CC )
24		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) = ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) : NN --> CC )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ` k ) e. CC )
27		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( ( A - B ) / m ) = ( ( A - B ) / k ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) = ( 1 + ( ( A - B ) / k ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) )
30		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 1 + ( ( A - B ) / k ) ) e. _V
31	28, 29, 30	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) ` k ) = ( 1 + ( ( A - B ) / k ) ) )
32		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( A - B ) / k ) e. _V
33	27, 24, 32	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ` k ) = ( ( A - B ) / k ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( 1 + ( ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ` k ) ) = ( 1 + ( ( A - B ) / k ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) ` k ) = ( 1 + ( ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ` k ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) ` k ) = ( 1 + ( ( m e. NN |-> ( ( A - B ) / m ) ) ` k ) ) )
37	15, 16, 18, 19, 22, 26, 36	climaddc2 14366	. . . 4 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( 1 + ( ( A - B ) / m ) ) ) ~~> ( 1 + 0 ) )
38	14, 37	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> ( 1 + 0 ) )
39		nnssz 11397	. . . . . . 7 |- NN C_ ZZ
40		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( NN C_ ZZ -> ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` NN ) = ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` NN ) = ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) )
42	15	reseq2i 5393	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` NN ) = ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) )
43	41, 42	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) = ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) )
44		1p0e1 11133	. . . . 5 |- ( 1 + 0 ) = 1
45	43, 44	breq12i 4662	. . . 4 |- ( ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> ( 1 + 0 ) <-> ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) ~~> 1 )
46		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
47		zex 11386	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
48	47	mptex 6486	. . . . 5 |- ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) e. _V
49		climres 14306	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) e. _V ) -> ( ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) ~~> 1 <-> ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> 1 ) )
50	46, 48, 49	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) ~~> 1 <-> ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> 1 )
51	45, 50	bitri 264	. . 3 |- ( ( m e. NN |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> ( 1 + 0 ) <-> ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> 1 )
52	38, 51	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> 1 )
53		divcnvlin.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
54		divcnvlin.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
55		divcnvlin.5	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
56	48	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) e. _V )
57		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
58	57, 53	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
59	58	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> k e. CC )
60	59	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. CC )
61	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. ZZ )
62	61	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
63	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
64	60, 62, 63	ppncand 10432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k + B ) + ( A - B ) ) = ( k + A ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( k + B ) + ( A - B ) ) / ( k + B ) ) = ( ( k + A ) / ( k + B ) ) )
66	58	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
67	66, 61	zaddcld 11486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( k + B ) e. ZZ )
68		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + B ) -> ( m + ( A - B ) ) = ( ( k + B ) + ( A - B ) ) )
69		id 22	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + B ) -> m = ( k + B ) )
70	68, 69	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( m = ( k + B ) -> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) = ( ( ( k + B ) + ( A - B ) ) / ( k + B ) ) )
71		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) = ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) )
72		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( k + B ) + ( A - B ) ) / ( k + B ) ) e. _V
73	70, 71, 72	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( k + B ) e. ZZ -> ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ` ( k + B ) ) = ( ( ( k + B ) + ( A - B ) ) / ( k + B ) ) )
74	67, 73	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ` ( k + B ) ) = ( ( ( k + B ) + ( A - B ) ) / ( k + B ) ) )
75		divcnvlin.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( ( k + A ) / ( k + B ) ) )
76	65, 74, 75	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ` ( k + B ) ) = ( F ` k ) )
77	53, 54, 4, 55, 56, 76	climshft2 14313	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 1 <-> ( m e. ZZ |-> ( ( m + ( A - B ) ) / m ) ) ~~> 1 ) )
78	52, 77	mpbird 247	1 |- ( ph -> F ~~> 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  faclimlem2  31630  faclim2  31634