Theorem radcnvrat 38513

Description: Let L be the limit, if one exists, of the ratio ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) (as in the ratio test cvgdvgrat 38512) as k increases. Then the radius of convergence of power series sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) is ( 1 / L ) if L is nonzero. Proof "The limit involved in the ratio test..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence —a few lines that evidently hide quite an involved process to confirm. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
radcnvrat.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
radcnvrat.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
radcnvrat.r	|- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
radcnvrat.rat	|- D = ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) )
radcnvrat.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
radcnvrat.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
radcnvrat.n0	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
radcnvrat.l	|- ( ph -> D ~~> L )
radcnvrat.ln0	|- ( ph -> L =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
radcnvrat	|- ( ph -> R = ( 1 / L ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, ph   A, n, x   k, G, n, x   k, r, x, G   k, L, x   k, Z, n   D, k   k, M

Allowed substitution hints:   ph( r)   A( k, r)   D( x, n, r)   R( x, k, n, r)   L( n, r)   M( x, n, r)   Z( x, r)

Proof of Theorem radcnvrat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		radcnvrat.r	. 2 |- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
2		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> < Or RR* )
4		radcnvrat.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		radcnvrat.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 11480	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
7	4	reseq2i 5393	. . . . . . 7 |- ( D |` Z ) = ( D |` ( ZZ>= ` M ) )
8		radcnvrat.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D ~~> L )
9		radcnvrat.rat	. . . . . . . . . 10 |- D = ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) )
10		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
11	10	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) ) e. _V
12	9, 11	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- D e. _V
13		climres 14306	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ D e. _V ) -> ( ( D |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> L <-> D ~~> L ) )
14	6, 12, 13	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> L <-> D ~~> L ) )
15	8, 14	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> L )
16	7, 15	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D |` Z ) ~~> L )
17	9	reseq1i 5392	. . . . . . . . 9 |- ( D |` Z ) = ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) ) |` Z )
18		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
19	5, 18	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. NN0 ) )
21	20	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) C_ NN0 )
22	4, 21	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z C_ NN0 )
23	22	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) ) |` Z ) = ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) ) )
24	17, 23	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D |` Z ) = ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) ) )
25		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) e. _V )
26	24, 25	fvmpt2d 6293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( D |` Z ) ` k ) = ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) )
27	4	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z -> ( k + 1 ) e. Z )
28	22	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. Z ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
29		radcnvrat.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
30	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
31	28, 30	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. Z ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
32	27, 31	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
33	22	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. NN0 )
34	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
35	33, 34	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A ` k ) e. CC )
36		radcnvrat.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
37	32, 35, 36	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) e. CC )
38	37	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) e. RR )
39	26, 38	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( D |` Z ) ` k ) e. RR )
40	4, 6, 16, 39	climrecl 14314	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
41		radcnvrat.ln0	. . . . 5 |- ( ph -> L =/= 0 )
42	40, 41	rereccld 10852	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / L ) e. RR )
43	42	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / L ) e. RR* )
44		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
45		elrabi 3359	. . . . 5 |- ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } -> x e. RR )
46	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 1 / L ) e. RR )
47		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> x e. CC )
48	47	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( abs ` x ) e. RR )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` x ) e. RR )
50	46, 49	ltlend 10182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 1 / L ) < ( abs ` x ) <-> ( ( 1 / L ) <_ ( abs ` x ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) ) )
51	50	simplbda 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < ( abs ` x ) ) -> ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) )
52	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( 1 / L ) < ( abs ` x ) <-> ( ( 1 / L ) <_ ( abs ` x ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) ) )
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) )
54	53	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( 1 / L ) <_ ( abs ` x ) <-> ( ( 1 / L ) <_ ( abs ` x ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) ) )
55	46, 49	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 1 / L ) <_ ( abs ` x ) <-> -. ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( 1 / L ) <_ ( abs ` x ) <-> -. ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) )
57	52, 54, 56	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( 1 / L ) < ( abs ` x ) <-> -. ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) )
58		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
59	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` x ) e. CC )
60	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> L e. CC )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L e. CC )
62	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L =/= 0 )
63	58, 59, 61, 62	divmul3d 10835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 1 / L ) = ( abs ` x ) <-> 1 = ( ( abs ` x ) x. L ) ) )
64		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / L ) = ( abs ` x ) <-> ( abs ` x ) = ( 1 / L ) )
65		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = ( ( abs ` x ) x. L ) <-> ( ( abs ` x ) x. L ) = 1 )
66	63, 64, 65	3bitr3g 302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` x ) = ( 1 / L ) <-> ( ( abs ` x ) x. L ) = 1 ) )
67	66	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) <-> ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) )
68	67	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 )
69		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. RR )
70		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. Z -> ( ( D |` Z ) ` k ) = ( D ` k ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( D |` Z ) ` k ) = ( D ` k ) )
72	71, 39	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( D ` k ) e. RR )
73	37	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) )
74	73, 26	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( D |` Z ) ` k ) )
75	74, 71	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( D ` k ) )
76	4, 6, 8, 72, 75	climge0 14315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 <_ L )
77	40, 76, 41	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < L )
78	40, 77	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> L e. RR+ )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L e. RR+ )
80	49, 69, 79	ltmuldivd 11919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) )
82		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( RR i^i { 0 } ) u. ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( x e. ( RR i^i { 0 } ) \/ x e. ( RR \ { 0 } ) ) )
83		inundif 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( RR i^i { 0 } ) u. ( RR \ { 0 } ) ) = RR
84	83	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( RR i^i { 0 } ) u. ( RR \ { 0 } ) ) <-> x e. RR )
85	82, 84	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( RR i^i { 0 } ) \/ x e. ( RR \ { 0 } ) ) <-> x e. RR )
86		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( RR i^i { 0 } ) <-> ( x e. RR /\ x e. { 0 } ) )
87	86	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( RR i^i { 0 } ) -> x e. { 0 } )
88		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. { 0 } -> x = 0 )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( RR i^i { 0 } ) -> x = 0 )
90		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 0 ) )
91		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( abs ` 0 ) = 0
92	90, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = 0 -> ( abs ` x ) = 0 )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` x ) x. L ) = ( 0 x. L ) )
94	60	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 0 x. L ) = 0 )
95	93, 94	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( abs ` x ) x. L ) = 0 )
96		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < 1
97	95, 96	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 )
98		radcnvrat.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
99	98, 29	radcnv0 24170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
100		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = 0 -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } <-> 0 e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
101	99, 100	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( x = 0 -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
102	101	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
103	97, 102	2thd 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
104	89, 103	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( RR i^i { 0 } ) ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
105	104	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) /\ x e. ( RR i^i { 0 } ) ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
106		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- RR C_ CC
107		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( RR C_ CC -> ( RR \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( RR \ { 0 } ) C_ ( CC \ { 0 } )
109	108	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( RR \ { 0 } ) -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
110		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
111	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> M e. NN0 )
112		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( G ` x ) e. _V )
113		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x e. CC )
114	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) ) )
115	10	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) e. _V
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) e. _V )
117	114, 116	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` x ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
120		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> ( x ^ n ) = ( x ^ k ) )
121	119, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = k -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) /\ n = k ) -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
123		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
124		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. _V )
125	118, 122, 123, 124	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
126	34	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
127		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> x e. CC )
128	127, 123	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
129	126, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. CC )
130	125, 129	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) ` k ) e. CC )
131	113, 130	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) ` k ) e. CC )
132	131	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` x ) ` k ) e. CC )
133	33	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> k e. NN0 )
134	133, 125	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( G ` x ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
135	113, 134	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( G ` x ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
136	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( A ` k ) e. CC )
137	113	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x e. CC )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> x e. CC )
139	33	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> k e. NN0 )
140	138, 139	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( x ^ k ) e. CC )
141	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
142		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x =/= 0 )
143	142	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> x =/= 0 )
144	139	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
145	138, 143, 144	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( x ^ k ) =/= 0 )
146	136, 140, 141, 145	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) =/= 0 )
147	135, 146	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( G ` x ) ` k ) =/= 0 )
148	147	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) /\ k e. Z ) -> ( ( G ` x ) ` k ) =/= 0 )
149		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = k -> ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) )
151		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = k -> ( ( G ` x ) ` n ) = ( ( G ` x ) ` k ) )
152	150, 151	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = k -> ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) = ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) )
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = k -> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) ) )
154	153	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) = ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) ) )
155	4	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` Z ) = ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` ( ZZ>= ` M ) )
156	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> Z C_ NN0 )
157	156	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` Z ) = ( n e. Z |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) )
158	155, 157	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` ( ZZ>= ` M ) ) = ( n e. Z |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) )
159	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> M e. ZZ )
160	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> D ~~> L )
161	137	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
162	161	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
163	10	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) e. _V
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) e. _V )
165	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( D ` k ) e. CC )
166	165	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( D ` k ) e. CC )
167		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) )
168	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) /\ n = k ) -> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) = ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) ) )
169		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) ) e. _V )
170	167, 168, 139, 169	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) ) )
171	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( G ` x ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
172		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> n = ( k + 1 ) )
173	172	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( k + 1 ) ) )
174	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( x ^ n ) = ( x ^ ( k + 1 ) ) )
175	173, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) /\ n = ( k + 1 ) ) -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
176		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- 1 e. NN0
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> 1 e. NN0 )
178	133, 177	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
179		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( x ^ ( k + 1 ) ) ) e. _V )
180	171, 175, 178, 179	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
181	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) /\ n = k ) -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
182		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) e. _V )
183	171, 181, 133, 182	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( G ` x ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
184	180, 183	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) = ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( x ^ ( k + 1 ) ) ) / ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
185	113, 184	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) = ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( x ^ ( k + 1 ) ) ) / ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
186	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
187	113, 178	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
188	138, 187	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
189	186, 136, 188, 140, 141, 145	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) x. ( ( x ^ ( k + 1 ) ) / ( x ^ k ) ) ) = ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( x ^ ( k + 1 ) ) ) / ( ( A ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
190	139	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> k e. CC )
191		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> 1 e. CC )
192	190, 191	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
193	192	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( x ^ ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( x ^ 1 ) )
194	187	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
195	138, 143, 144, 194	expsubd 13019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( x ^ ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( x ^ ( k + 1 ) ) / ( x ^ k ) ) )
196	138	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( x ^ 1 ) = x )
197	193, 195, 196	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( x ^ ( k + 1 ) ) / ( x ^ k ) ) = x )
198	197	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) x. ( ( x ^ ( k + 1 ) ) / ( x ^ k ) ) ) = ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) x. x ) )
199	185, 189, 198	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) = ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) x. x ) )
200	199	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( k + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) x. x ) ) )
201	37	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) e. CC )
202	201, 138	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) x. x ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) x. ( abs ` x ) ) )
203	170, 200, 202	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ` k ) = ( ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) x. ( abs ` x ) ) )
204	71, 26	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( D ` k ) = ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) )
205	204	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( D ` k ) = ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) )
206	205	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) = ( D ` k ) )
207	206	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( A ` ( k + 1 ) ) / ( A ` k ) ) ) x. ( abs ` x ) ) = ( ( D ` k ) x. ( abs ` x ) ) )
208	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` x ) e. CC )
209	166, 208	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( D ` k ) x. ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( D ` k ) ) )
210	203, 207, 209	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ` k ) = ( ( abs ` x ) x. ( D ` k ) ) )
211	4, 159, 160, 162, 164, 166, 210	climmulc2 14367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) )
212		climres 14306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) <-> ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) ) )
213	159, 163, 212	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) <-> ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) ) )
214	211, 213	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) )
215	158, 214	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) )
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( ( ( G ` x ) ` ( n + 1 ) ) / ( ( G ` x ) ` n ) ) ) ) ~~> ( ( abs ` x ) x. L ) )
217		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 )
218	110, 4, 111, 112, 132, 148, 154, 216, 217	cvgdvgrat 38512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> seq 0 ( + , ( G ` x ) ) e. dom ~~> ) )
219	109, 218	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> seq 0 ( + , ( G ` x ) ) e. dom ~~> ) )
220		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( RR \ { 0 } ) -> x e. RR )
221		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( r = x -> ( G ` r ) = ( G ` x ) )
222	221	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( r = x -> seq 0 ( + , ( G ` r ) ) = seq 0 ( + , ( G ` x ) ) )
223	222	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( r = x -> ( seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( G ` x ) ) e. dom ~~> ) )
224	223	elrab3 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } <-> seq 0 ( + , ( G ` x ) ) e. dom ~~> ) )
225	220, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( RR \ { 0 } ) -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } <-> seq 0 ( + , ( G ` x ) ) e. dom ~~> ) )
226	225	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } <-> seq 0 ( + , ( G ` x ) ) e. dom ~~> ) )
227	219, 226	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( RR \ { 0 } ) ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
228	227	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) /\ x e. ( RR \ { 0 } ) ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
229	105, 228	jaodan 826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) /\ ( x e. ( RR i^i { 0 } ) \/ x e. ( RR \ { 0 } ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
230	85, 229	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) /\ x e. RR ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
231	230	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( ( abs ` x ) x. L ) < 1 <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
232	81, 231	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( ( abs ` x ) x. L ) =/= 1 ) -> ( ( abs ` x ) < ( 1 / L ) <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
233	68, 232	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( abs ` x ) < ( 1 / L ) <-> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
234	233	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( -. ( abs ` x ) < ( 1 / L ) <-> -. x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
235	57, 234	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( 1 / L ) < ( abs ` x ) <-> -. x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
236	235	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( 1 / L ) < ( abs ` x ) -> -. x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
237	236	impancom 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < ( abs ` x ) ) -> ( ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) -> -. x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
238	51, 237	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < ( abs ` x ) ) -> -. x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
239	238	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 1 / L ) < ( abs ` x ) -> -. x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
240	239	con2d 129	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } -> -. ( 1 / L ) < ( abs ` x ) ) )
241	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < x ) -> ( 1 / L ) e. RR )
242		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < x ) -> x e. RR )
243	49	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < x ) -> ( abs ` x ) e. RR )
244		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < x ) -> ( 1 / L ) < x )
245	242	leabsd 14153	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < x ) -> x <_ ( abs ` x ) )
246	241, 242, 243, 244, 245	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( 1 / L ) < x ) -> ( 1 / L ) < ( abs ` x ) )
247	246	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( 1 / L ) < x -> ( 1 / L ) < ( abs ` x ) ) )
248	240, 247	nsyld 154	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } -> -. ( 1 / L ) < x ) )
249	45, 248	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) -> ( x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } -> -. ( 1 / L ) < x ) )
250	44, 249	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) -> -. ( 1 / L ) < x )
251	42	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( 1 / L ) e. RR )
252	251	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( 1 / L ) e. RR* )
253		iooss1 12210	. . . . . . . 8 |- ( ( -u ( 1 / L ) e. RR* /\ -u ( 1 / L ) <_ x ) -> ( x (,) ( 1 / L ) ) C_ ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) )
254	252, 253	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -u ( 1 / L ) <_ x ) -> ( x (,) ( 1 / L ) ) C_ ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) )
255	254	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) /\ -u ( 1 / L ) <_ x ) -> ( x (,) ( 1 / L ) ) C_ ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) )
256		eliooord 12233	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) -> ( x < k /\ k < ( 1 / L ) ) )
257	256	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) -> x < k )
258	257	rgen 2922	. . . . . . . . 9 |- A. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k
259		ioon0 12201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR* /\ ( 1 / L ) e. RR* ) -> ( ( x (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> x < ( 1 / L ) ) )
260	43, 259	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR* /\ ph ) -> ( ( x (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> x < ( 1 / L ) ) )
261	260	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( ( x (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> x < ( 1 / L ) ) )
262	261	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ x < ( 1 / L ) ) -> ( x (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) )
263		r19.2zb 4061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> ( A. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k ) )
264	262, 263	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ x < ( 1 / L ) ) -> ( A. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k ) )
265	258, 264	mpi 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ x < ( 1 / L ) ) -> E. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k )
266	265	anasss 679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) -> E. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k )
267	266	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) /\ -u ( 1 / L ) <_ x ) -> E. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k )
268		ssrexv 3667	. . . . . 6 |- ( ( x (,) ( 1 / L ) ) C_ ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) -> ( E. k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k ) )
269	255, 267, 268	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) /\ -u ( 1 / L ) <_ x ) -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k )
270		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> x e. RR* )
271		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ -u ( 1 / L ) e. RR* ) -> ( x < -u ( 1 / L ) <-> -. -u ( 1 / L ) <_ x ) )
272		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ -u ( 1 / L ) e. RR* ) -> ( x < -u ( 1 / L ) -> x <_ -u ( 1 / L ) ) )
273	271, 272	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR* /\ -u ( 1 / L ) e. RR* ) -> ( -. -u ( 1 / L ) <_ x -> x <_ -u ( 1 / L ) ) )
274	252, 273	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR* /\ ph ) -> ( -. -u ( 1 / L ) <_ x -> x <_ -u ( 1 / L ) ) )
275	274	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( -. -u ( 1 / L ) <_ x -> x <_ -u ( 1 / L ) ) )
276	275	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> x <_ -u ( 1 / L ) )
277		iooss1 12210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR* /\ x <_ -u ( 1 / L ) ) -> ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) C_ ( x (,) ( 1 / L ) ) )
278	270, 276, 277	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) C_ ( x (,) ( 1 / L ) ) )
279	278	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) /\ k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) ) -> k e. ( x (,) ( 1 / L ) ) )
280	279, 257	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) /\ k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) ) -> x < k )
281	280	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> A. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k )
282	40, 77	recgt0d 10958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( 1 / L ) )
283	42, 42, 282, 282	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( ( 1 / L ) + ( 1 / L ) ) )
284	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / L ) e. CC )
285	284, 284	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 / L ) - -u ( 1 / L ) ) = ( ( 1 / L ) + ( 1 / L ) ) )
286	283, 285	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( ( 1 / L ) - -u ( 1 / L ) ) )
287	251, 42	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( 1 / L ) < ( 1 / L ) <-> 0 < ( ( 1 / L ) - -u ( 1 / L ) ) ) )
288	286, 287	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( 1 / L ) < ( 1 / L ) )
289		ioon0 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( 1 / L ) e. RR* /\ ( 1 / L ) e. RR* ) -> ( ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> -u ( 1 / L ) < ( 1 / L ) ) )
290	252, 43, 289	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> -u ( 1 / L ) < ( 1 / L ) ) )
291	288, 290	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) )
292		r19.2zb 4061	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) =/= (/) <-> ( A. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k ) )
293	291, 292	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k ) )
294	293	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> ( A. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k ) )
295	281, 294	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR* ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k )
296	295	adantlrr 757	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) /\ -. -u ( 1 / L ) <_ x ) -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k )
297	269, 296	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) -> E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k )
298		elioo2 12216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( 1 / L ) e. RR* /\ ( 1 / L ) e. RR* ) -> ( x e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) ) )
299	252, 43, 298	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) <-> ( x e. RR /\ -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) ) )
300	299	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) ) -> ( x e. RR /\ -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) )
301		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
302	301, 46	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` x ) < ( 1 / L ) <-> ( -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) ) )
303	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
304		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) -> ( abs ` x ) < ( 1 / L ) )
305	303, 304	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) -> ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) )
306	233	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) ) -> ( ( abs ` x ) < ( 1 / L ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
307	306	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) -> ( ( abs ` x ) =/= ( 1 / L ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
308	305, 307	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( abs ` x ) < ( 1 / L ) ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
309	308	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` x ) < ( 1 / L ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
310	302, 309	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
311	310	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) ) ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
312	311	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ ( -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) ) -> ( ph -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
313	312	3impb 1260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) -> ( ph -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
314	313	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ -u ( 1 / L ) < x /\ x < ( 1 / L ) ) ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
315	300, 314	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
316	315	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) -> x e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } ) )
317	316	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) C_ { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } )
318		ssrexv 3667	. . . . . 6 |- ( ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) C_ { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } -> ( E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } x < k ) )
319	317, 318	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } x < k ) )
320	319	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) -> ( E. k e. ( -u ( 1 / L ) (,) ( 1 / L ) ) x < k -> E. k e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } x < k ) )
321	297, 320	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < ( 1 / L ) ) ) -> E. k e. { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } x < k )
322	3, 43, 250, 321	eqsupd 8363	. 2 |- ( ph -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) = ( 1 / L ) )
323	1, 322	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> R = ( 1 / L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  38551