Theorem hashnzfzclim 38521

Description: As the upper bound K of the constraint interval ( J ... K ) in hashnzfz 38519 increases, the resulting count of multiples tends to ( K / M ) —that is, there are approximately ( K / M ) multiples of M in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfzclim.m	|- ( ph -> M e. NN )
hashnzfzclim.j	|- ( ph -> J e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashnzfzclim	|- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( # ` ( ( || " { M } ) i^i ( J ... k ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )

Distinct variable groups:   k, J   k, M   ph, k

Proof of Theorem hashnzfzclim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfzclim.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) -> M e. NN )
3		hashnzfzclim.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) -> J e. ZZ )
5		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) )
6	2, 4, 5	hashnzfz 38519	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) -> ( # ` ( ( || " { M } ) i^i ( J ... k ) ) ) = ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) )
7	6	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) -> ( ( # ` ( ( || " { M } ) i^i ( J ... k ) ) ) / k ) = ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) )
8	7	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( # ` ( ( || " { M } ) i^i ( J ... k ) ) ) / k ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) )
9		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
12	1	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
13	1	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= 0 )
14	12, 13	reccld 10794	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. CC )
15	9	eqimss2i 3660	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
16		nnex 11026	. . . . . . . . . 10 |- NN e. _V
17	15, 16	climconst2 14279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / M ) e. CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ~~> ( 1 / M ) )
18	14, 10, 17	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ~~> ( 1 / M ) )
19	16	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) e. _V )
21		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
22		divcnv 14585	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ~~> 0 )
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ~~> 0 )
24		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / M ) e. _V
25	24	fvconst2 6469	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> ( ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ` x ) = ( 1 / M ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ` x ) = ( 1 / M ) )
27	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( 1 / M ) e. CC )
28	26, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ` x ) e. CC )
29		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) = ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( 1 / k ) = ( 1 / x ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( 1 / k ) = ( 1 / x ) )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> x e. NN )
33		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( 1 / x ) e. _V )
34	29, 31, 32, 33	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ` x ) = ( 1 / x ) )
35	32	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( 1 / x ) e. RR )
36	34, 35	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ` x ) e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ` x ) e. CC )
38		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) = ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) )
39	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) = ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) = ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) )
41		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) e. _V )
42	38, 40, 32, 41	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) ` x ) = ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) )
43	26, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ` x ) - ( ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ` x ) ) = ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) )
44	42, 43	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) ` x ) = ( ( ( NN X. { ( 1 / M ) } ) ` x ) - ( ( k e. NN |-> ( 1 / k ) ) ` x ) ) )
45	9, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44	climsub 14364	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) ~~> ( ( 1 / M ) - 0 ) )
46	14	subid1d 10381	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / M ) - 0 ) = ( 1 / M ) )
47	45, 46	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) ~~> ( 1 / M ) )
48	16	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) e. _V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) e. _V )
50	1	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( 1 / M ) e. RR )
52		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> x e. RR )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> x e. RR )
54		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> x =/= 0 )
56	53, 55	rereccld 10852	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( 1 / x ) e. RR )
57	51, 56	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) e. RR )
58	42, 57	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) ` x ) e. RR )
59		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) = ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) )
60		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( k / M ) = ( x / M ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( |_ ` ( k / M ) ) = ( |_ ` ( x / M ) ) )
62		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> k = x )
63	61, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) = ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) = ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
65		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) e. _V )
66	59, 64, 32, 65	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) = ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
67	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> M e. NN )
68	53, 67	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( x / M ) e. RR )
69		reflcl 12597	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / M ) e. RR -> ( |_ ` ( x / M ) ) e. RR )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( |_ ` ( x / M ) ) e. RR )
71	70, 53, 55	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) e. RR )
72	66, 71	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) e. RR )
73	68	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( x / M ) e. CC )
74		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 1 e. CC )
75		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. CC )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> x e. CC )
77	73, 74, 76, 55	divsubdird 10840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( x / M ) - 1 ) / x ) = ( ( ( x / M ) / x ) - ( 1 / x ) ) )
78	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> M e. CC )
79	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> M =/= 0 )
80	76, 78, 79	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( x / M ) = ( x x. ( 1 / M ) ) )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( x / M ) / x ) = ( ( x x. ( 1 / M ) ) / x ) )
82	27, 76, 55	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( x x. ( 1 / M ) ) / x ) = ( 1 / M ) )
83	81, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( x / M ) / x ) = ( 1 / M ) )
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( x / M ) / x ) - ( 1 / x ) ) = ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) )
85	77, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( x / M ) - 1 ) / x ) = ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) )
86		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 1 e. RR )
87	68, 86	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( x / M ) - 1 ) e. RR )
88		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. RR+ )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> x e. RR+ )
90	70, 86	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) + 1 ) e. RR )
91		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / M ) e. RR -> ( |_ ` ( x / M ) ) <_ ( x / M ) )
92	68, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( |_ ` ( x / M ) ) <_ ( x / M ) )
93		flflp1 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / M ) e. RR /\ ( x / M ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) <_ ( x / M ) <-> ( x / M ) < ( ( |_ ` ( x / M ) ) + 1 ) ) )
94	68, 68, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) <_ ( x / M ) <-> ( x / M ) < ( ( |_ ` ( x / M ) ) + 1 ) ) )
95	92, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( x / M ) < ( ( |_ ` ( x / M ) ) + 1 ) )
96	68, 90, 86, 95	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( x / M ) - 1 ) < ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) + 1 ) - 1 ) )
97	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( |_ ` ( x / M ) ) e. CC )
98	97, 74	pncand 10393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` ( x / M ) ) )
99	96, 98	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( x / M ) - 1 ) < ( |_ ` ( x / M ) ) )
100	87, 70, 89, 99	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( x / M ) - 1 ) / x ) < ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
101	85, 100	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) < ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
102	57, 71, 101	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( 1 / M ) - ( 1 / x ) ) <_ ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
103		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> k = x )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( k / M ) = ( x / M ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( |_ ` ( k / M ) ) = ( |_ ` ( x / M ) ) )
106	105, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) = ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
107	59, 106, 32, 65	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) = ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) )
108	102, 42, 107	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( 1 / M ) - ( 1 / k ) ) ) ` x ) <_ ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) )
109	70, 68, 89, 92	lediv1dd 11930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) <_ ( ( x / M ) / x ) )
110	109, 83	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) <_ ( 1 / M ) )
111	107, 110	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) <_ ( 1 / M ) )
112	9, 11, 47, 49, 58, 72, 108, 111	climsqz 14371	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
113	16	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) e. _V
114	113	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) e. _V )
115	3	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. RR )
116		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
117	115, 116	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. RR )
118	117, 1	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) / M ) e. RR )
119	118	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) e. ZZ )
120	119	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) e. CC )
121		divcnv 14585	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) e. CC -> ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) ~~> 0 )
122	120, 121	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) ~~> 0 )
123	72	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) e. CC )
124		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) = ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) )
125		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) = ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) )
126	125	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) = ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) )
127		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) e. _V )
128	124, 126, 32, 127	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) ` x ) = ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) )
129	120	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) e. CC )
130	129, 76, 55	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) e. CC )
131	128, 130	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) ` x ) e. CC )
132	97, 129, 76, 55	divsubdird 10840	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / x ) = ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) - ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) ) )
133		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) = ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) )
134	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) = ( ( |_ ` ( x / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) )
135	134, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) = ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / x ) )
136	135	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ k = x ) -> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) = ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / x ) )
137		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / x ) e. _V )
138	133, 136, 32, 137	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ` x ) = ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / x ) )
139	66, 128	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) - ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) ` x ) ) = ( ( ( |_ ` ( x / M ) ) / x ) - ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / x ) ) )
140	132, 138, 139	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ` x ) = ( ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( k / M ) ) / k ) ) ` x ) - ( ( k e. NN |-> ( ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) / k ) ) ` x ) ) )
141	9, 11, 112, 114, 122, 123, 131, 140	climsub 14364	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( ( 1 / M ) - 0 ) )
142	141, 46	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
143		uzssz 11707	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) C_ ZZ
144		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) C_ ZZ -> ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) )
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) )
146	145	breq1i 4660	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
147	3, 11	zsubcld 11487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
148		zex 11386	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
149	148	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) e. _V
150		climres 14306	. . . . . 6 |- ( ( ( J - 1 ) e. ZZ /\ ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) e. _V ) -> ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) ) )
151	147, 149, 150	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) ) )
152	146, 151	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) ) )
153	9	reseq2i 5393	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` NN ) = ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) )
154	153	breq1i 4660	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` NN ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) ~~> ( 1 / M ) )
155		nnssz 11397	. . . . . . 7 |- NN C_ ZZ
156		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( NN C_ ZZ -> ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` NN ) = ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) )
157	155, 156	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` NN ) = ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) )
158	157	breq1i 4660	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` NN ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
159		climres 14306	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) e. _V ) -> ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) ) )
160	10, 149, 159	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
161	154, 158, 160	3bitr3i 290	. . . 4 |- ( ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. ZZ |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
162	152, 161	syl6bbr 278	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) <-> ( k e. NN |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) ) )
163	142, 162	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( ( |_ ` ( k / M ) ) - ( |_ ` ( ( J - 1 ) / M ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )
164	8, 163	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( J - 1 ) ) |-> ( ( # ` ( ( || " { M } ) i^i ( J ... k ) ) ) / k ) ) ~~> ( 1 / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   #chash 13117   ~~> cli 14215   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-dvds 14984

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