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Theorem cnconn 21225
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnconn |- ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Conn )
Proof of Theorem cnconn
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 21045 . . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
213ad2ant3 1084 . 2 |- ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
3 df-ne 2795 . . . . . . 7 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
4 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
5 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> J e. Conn )
6 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
7 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K i^i ( Clsd ` K ) ) C_ K
8 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) )
97, 8sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x e. K )
10 cnima 21069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) e. J )
116, 9, 10syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
12 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. K -> x C_ U. K )
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x C_ U. K )
14 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = U. K
1513, 14syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x C_ Y )
16 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> F : X -onto-> Y )
17 forn 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ran F = Y )
1915, 18sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x C_ ran F )
20 df-rn 5125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran F = dom `' F
2119, 20syl6sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x C_ dom `' F )
22 sseqin2 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ dom `' F <-> ( dom `' F i^i x ) = x )
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( dom `' F i^i x ) = x )
24 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x =/= (/) )
2523, 24eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( dom `' F i^i x ) =/= (/) )
26 imadisj 5484 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' F " x ) = (/) <-> ( dom `' F i^i x ) = (/) )
2726necon3bii 2846 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " x ) =/= (/) <-> ( dom `' F i^i x ) =/= (/) )
2825, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( `' F " x ) =/= (/) )
29 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K i^i ( Clsd ` K ) ) C_ ( Clsd ` K )
3029, 8sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x e. ( Clsd ` K ) )
31 cnclima 21072 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " x ) e. ( Clsd ` J ) )
326, 30, 31syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( `' F " x ) e. ( Clsd ` J ) )
334, 5, 11, 28, 32connclo 21218 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( `' F " x ) = U. J )
344, 14cnf 21050 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
35 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : U. J --> Y -> dom F = U. J )
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> dom F = U. J )
37 fof 6115 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
38 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
3916, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> dom F = X )
4033, 36, 393eqtr2d 2662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( `' F " x ) = X )
4140imaeq2d 5466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( F " ( `' F " x ) ) = ( F " X ) )
42 foimacnv 6154 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ x C_ Y ) -> ( F " ( `' F " x ) ) = x )
4316, 15, 42syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( F " ( `' F " x ) ) = x )
44 foima 6120 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
4516, 44syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> ( F " X ) = Y )
4641, 43, 453eqtr3d 2664 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) /\ x =/= (/) ) ) -> x = Y )
4746expr 643 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) ) -> ( x =/= (/) -> x = Y ) )
483, 47syl5bir 233 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) ) -> ( -. x = (/) -> x = Y ) )
4948orrd 393 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = Y ) )
50 vex 3203 . . . . . 6 |- x e. _V
5150elpr 4198 . . . . 5 |- ( x e. { (/) , Y } <-> ( x = (/) \/ x = Y ) )
5249, 51sylibr 224 . . . 4 |- ( ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) ) -> x e. { (/) , Y } )
5352ex 450 . . 3 |- ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. ( K i^i ( Clsd ` K ) ) -> x e. { (/) , Y } ) )
5453ssrdv 3609 . 2 |- ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( K i^i ( Clsd ` K ) ) C_ { (/) , Y } )
5514isconn2 21217 . 2 |- ( K e. Conn <-> ( K e. Top /\ ( K i^i ( Clsd ` K ) ) C_ { (/) , Y } ) )
562, 54, 55sylanbrc 698 1 |- ( ( J e. Conn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Conn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028  Conncconn 21214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cn 21031  df-conn 21215
This theorem is referenced by:  connima  21228  conncn  21229  qtopconn  21512  connhmph  21592  ivthALT  32330
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