Theorem cnrehmeo 22752

Description: The canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC described in cnref1o 11827 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if ( RR X. RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnrehmeo.2	|- J = ( topGen ` ran (,) )
cnrehmeo.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeo	|- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retopon 22567	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` RR )
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> J e. (TopOn ` RR ) )
6		cnrehmeo.3	. . . . . . . 8 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtop 22587	. . . . . . 7 |- K e. Top
8		cnrest2r 21091	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
10	5, 5	cnmpt1st 21471	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
11	6	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( K ↾t RR )
12	2, 11	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t RR )
13	12	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( J tX J ) Cn J ) = ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) )
14	10, 13	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
15	9, 14	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
16	6	cnfldtopon 22586	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> K e. (TopOn ` CC ) )
18		ax-icn 9995	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> _i e. CC )
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 21473	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> _i ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
21	5, 5	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
22	21, 13	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
23	9, 22	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
24	6	mulcn 22670	. . . . . . 7 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
25	24	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
26	5, 5, 20, 23, 25	cnmpt22f 21478	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( _i x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
27	6	addcn 22668	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
29	5, 5, 15, 26, 28	cnmpt22f 21478	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
30	1, 29	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
31	1	cnrecnv 13905	. . . 4 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32		ref 13852	. . . . . . . 8 |- Re : CC --> RR
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> Re : CC --> RR )
34	33	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( T. -> Re = ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) )
35		recncf 22705	. . . . . . 7 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
36		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
37		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
38	16	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. K
39	38	restid 16094	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` CC ) -> ( K ↾t CC ) = K )
40	16, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( K ↾t CC ) = K
41	40	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- K = ( K ↾t CC )
42	6, 41, 12	cncfcn 22712	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J ) )
43	36, 37, 42	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J )
44	35, 43	eleqtri 2699	. . . . . 6 |- Re e. ( K Cn J )
45	34, 44	syl6eqelr 2710	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
46		imf 13853	. . . . . . . 8 |- Im : CC --> RR
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> Im : CC --> RR )
48	47	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( T. -> Im = ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) )
49		imcncf 22706	. . . . . . 7 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
50	49, 43	eleqtri 2699	. . . . . 6 |- Im e. ( K Cn J )
51	48, 50	syl6eqelr 2710	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
52	17, 45, 51	cnmpt1t 21468	. . . 4 |- ( T. -> ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
53	31, 52	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
54		ishmeo 21562	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) <-> ( F e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) ) )
55	30, 53, 54	sylanbrc 698	. 2 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) )
56	55	trud 1493	1 |- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Syntax hints:   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   C_ wss 3574   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  cnheiborlem  22753  mbfimaopnlem  23422  tpr2rico  29958