Theorem xkohmeo 21618

Description: The Exponential Law for topological spaces. The "currying" function F is a homeomorphism on function spaces when J and K are exponentiable spaces (by xkococn 21463, it is sufficient to assume that J , K are locally compact to ensure exponentiability). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkohmeo.x	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
xkohmeo.y	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
xkohmeo.f	|- F = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) |-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
xkohmeo.j	|- ( ph -> J e. 𝑛Locally Comp )
xkohmeo.k	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally Comp )
xkohmeo.l	|- ( ph -> L e. Top )

Assertion

Ref	Expression
xkohmeo	|- ( ph -> F e. ( ( L ^ko ( J tX K ) ) Homeo ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, J   f, K, x, y   ph, f, x, y   f, L, x, y   f, X, x, y   f, Y, x, y   f, F, x, y

Proof of Theorem xkohmeo

Dummy variables g t u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkohmeo.f	. . 3 |- F = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) |-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
2		xkohmeo.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		xkohmeo.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		txtopon 21394	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6		topontop 20718	. . . . . 6 |- ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( J tX K ) e. Top )
8		xkohmeo.l	. . . . 5 |- ( ph -> L e. Top )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( L ^ko ( J tX K ) ) = ( L ^ko ( J tX K ) )
10	9	xkotopon 21403	. . . . 5 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko ( J tX K ) ) e. (TopOn ` ( ( J tX K ) Cn L ) ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( L ^ko ( J tX K ) ) e. (TopOn ` ( ( J tX K ) Cn L ) ) )
12		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
13		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
14	12, 13	op1std 7178	. . . . . . . 8 |- ( z = <. f , x >. -> ( 1st ` z ) = f )
15	12, 13	op2ndd 7179	. . . . . . . 8 |- ( z = <. f , x >. -> ( 2nd ` z ) = x )
16		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( z = <. f , x >. -> y = y )
17	14, 15, 16	oveq123d 6671	. . . . . . 7 |- ( z = <. f , x >. -> ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) = ( x f y ) )
18	17	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( z = <. f , x >. -> ( y e. Y |-> ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) ) = ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
19	18	mpt2mpt 6752	. . . . 5 |- ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( y e. Y |-> ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) ) ) = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) , x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
20		txtopon 21394	. . . . . . 7 |- ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) e. (TopOn ` ( ( J tX K ) Cn L ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) e. (TopOn ` ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) ) )
21	11, 2, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) e. (TopOn ` ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) ) )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	22, 23	op1std 7178	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. z , y >. -> ( 1st ` w ) = z )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. z , y >. -> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) = ( 1st ` z ) )
26	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. z , y >. -> ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) = ( 2nd ` z ) )
27	22, 23	op2ndd 7179	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. z , y >. -> ( 2nd ` w ) = y )
28	25, 26, 27	oveq123d 6671	. . . . . . . 8 |- ( w = <. z , y >. -> ( ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ( 2nd ` w ) ) = ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) )
29	28	mpt2mpt 6752	. . . . . . 7 |- ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ( 2nd ` w ) ) ) = ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) )
30		txtopon 21394	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) e. (TopOn ` ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) e. (TopOn ` ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) )
31	21, 3, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) e. (TopOn ` ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
33	32	toptopon 20722	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
34	8, 33	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
35		xkohmeo.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. 𝑛Locally Comp )
36		xkohmeo.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. 𝑛Locally Comp )
37		txcmp 21446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Comp /\ y e. Comp ) -> ( x tX y ) e. Comp )
38	37	txnlly 21440	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. 𝑛Locally Comp /\ K e. 𝑛Locally Comp ) -> ( J tX K ) e. 𝑛Locally Comp )
39	35, 36, 38	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J tX K ) e. 𝑛Locally Comp )
40	25	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ) = ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( 1st ` z ) )
41	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
42	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
43		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) -> ( 1st ` w ) e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) )
45		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` w ) e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) -> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) -> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
47		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( 1st ` ( 1st ` w ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) : ( X X. Y ) --> U. L )
48	41, 42, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) -> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) : ( X X. Y ) --> U. L )
49	48	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) ) -> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) = ( u e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` u ) ) )
50	49	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ) = ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( u e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` u ) ) ) )
51	40, 50	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( 1st ` z ) ) = ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( u e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` u ) ) ) )
52	21, 3	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> z ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) ) )
53		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( 1st ` t ) = ( 1st ` z ) )
54	53	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 1st ` t ) ) = ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 1st ` z ) )
55	14	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 1st ` z ) ) = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) , x e. X |-> f )
56	11, 2	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) , x e. X |-> f ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
57	55, 56	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
58	54, 57	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 1st ` t ) ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
59	21, 3, 52, 21, 58, 53	cnmpt21 21474	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
60	51, 59	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( u e. ( X X. Y ) |-> ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` u ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
61	26	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ) = ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( 2nd ` z ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( 2nd ` t ) = ( 2nd ` z ) )
63	62	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 2nd ` t ) ) = ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 2nd ` z ) )
64	15	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 2nd ` z ) ) = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) , x e. X |-> x )
65	11, 2	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) , x e. X |-> x ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn J ) )
66	64, 65	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn J ) )
67	63, 66	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( 2nd ` t ) ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn J ) )
68	21, 3, 52, 21, 67, 62	cnmpt21 21474	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn J ) )
69	61, 68	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn J ) )
70	27	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( 2nd ` w ) ) = ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> y )
71	21, 3	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> y ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn K ) )
72	70, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( 2nd ` w ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn K ) )
73	31, 69, 72	cnmpt1t 21468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> <. ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) , ( 2nd ` w ) >. ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn ( J tX K ) ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) , ( 2nd ` w ) >. -> ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` u ) = ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` <. ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) , ( 2nd ` w ) >. ) )
75		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ( 2nd ` w ) ) = ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` <. ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) , ( 2nd ` w ) >. )
76	74, 75	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( u = <. ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) , ( 2nd ` w ) >. -> ( ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ` u ) = ( ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ( 2nd ` w ) ) )
77	31, 5, 34, 39, 60, 73, 76	cnmptk1p 21488	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) X. Y ) |-> ( ( 2nd ` ( 1st ` w ) ) ( 1st ` ( 1st ` w ) ) ( 2nd ` w ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn L ) )
78	29, 77	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) , y e. Y |-> ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) ) e. ( ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) tX K ) Cn L ) )
79	21, 3, 78	cnmpt2k 21491	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( J tX K ) Cn L ) X. X ) |-> ( y e. Y |-> ( ( 2nd ` z ) ( 1st ` z ) y ) ) ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn ( L ^ko K ) ) )
80	19, 79	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) , x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) e. ( ( ( L ^ko ( J tX K ) ) tX J ) Cn ( L ^ko K ) ) )
81	11, 2, 80	cnmpt2k 21491	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) |-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) e. ( ( L ^ko ( J tX K ) ) Cn ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) )
82	1, 81	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( L ^ko ( J tX K ) ) Cn ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) )
83	2, 3, 1, 35, 36, 8	xkocnv 21617	. . . 4 |- ( ph -> `' F = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
84	13, 23	op1std 7178	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( g ` ( 1st ` z ) ) = ( g ` x ) )
86	13, 23	op2ndd 7179	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
87	85, 86	fveq12d 6197	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) = ( ( g ` x ) ` y ) )
88	87	mpt2mpt 6752	. . . . 5 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) )
89	88	mpteq2i 4741	. . . 4 |- ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
90	83, 89	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> `' F = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) )
91		nllytop 21276	. . . . . 6 |- ( J e. 𝑛Locally Comp -> J e. Top )
92	35, 91	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
93		nllytop 21276	. . . . . . 7 |- ( K e. 𝑛Locally Comp -> K e. Top )
94	36, 93	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. Top )
95		xkotop 21391	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko K ) e. Top )
96	94, 8, 95	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( L ^ko K ) e. Top )
97		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( L ^ko K ) ^ko J ) = ( ( L ^ko K ) ^ko J )
98	97	xkotopon 21403	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( L ^ko K ) e. Top ) -> ( ( L ^ko K ) ^ko J ) e. (TopOn ` ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) )
99	92, 96, 98	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L ^ko K ) ^ko J ) e. (TopOn ` ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) )
100		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
101	100, 22	op1std 7178	. . . . . . . 8 |- ( w = <. g , z >. -> ( 1st ` w ) = g )
102	100, 22	op2ndd 7179	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. g , z >. -> ( 2nd ` w ) = z )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( w = <. g , z >. -> ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) = ( 1st ` z ) )
104	101, 103	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( w = <. g , z >. -> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) = ( g ` ( 1st ` z ) ) )
105	102	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( w = <. g , z >. -> ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) = ( 2nd ` z ) )
106	104, 105	fveq12d 6197	. . . . . 6 |- ( w = <. g , z >. -> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) ) = ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) )
107	106	mpt2mpt 6752	. . . . 5 |- ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) ) ) = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) )
108		txtopon 21394	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) e. (TopOn ` ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) /\ ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) ) -> ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) e. (TopOn ` ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) )
109	99, 5, 108	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) e. (TopOn ` ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) )
110	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
111	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
112	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
113		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L ^ko K ) = ( L ^ko K )
114	113	xkotopon 21403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
115	94, 8, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
117		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) -> ( 1st ` w ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( 1st ` w ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
119		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) /\ ( 1st ` w ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( 1st ` w ) : X --> ( K Cn L ) )
120	112, 116, 118, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( 1st ` w ) : X --> ( K Cn L ) )
121		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) -> ( 2nd ` w ) e. ( X X. Y ) )
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( 2nd ` w ) e. ( X X. Y ) )
123		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2nd ` w ) e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) e. X )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) e. X )
125	120, 124	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) e. ( K Cn L ) )
126		cnf2 21053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) e. ( K Cn L ) ) -> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) : Y --> U. L )
127	110, 111, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) : Y --> U. L )
128	127	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) = ( y e. Y |-> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` y ) ) )
129	128	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ) = ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( y e. Y |-> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` y ) ) ) )
130	101	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( 1st ` w ) ) = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> g )
131	120	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) ) -> ( 1st ` w ) = ( x e. X |-> ( ( 1st ` w ) ` x ) ) )
132	131	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( 1st ` w ) ) = ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( x e. X |-> ( ( 1st ` w ) ` x ) ) ) )
133	130, 132	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> g ) = ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( x e. X |-> ( ( 1st ` w ) ` x ) ) ) )
134	99, 5	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> g ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) )
135	133, 134	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( x e. X |-> ( ( 1st ` w ) ` x ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) )
136	103	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) )
137	99, 5	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> z ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn ( J tX K ) ) )
138	53	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` t ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) )
139	84	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> x )
140	2, 3	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
141	139, 140	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
142	138, 141	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` t ) ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
143	99, 5, 137, 5, 142, 53	cnmpt21 21474	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> ( 1st ` z ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn J ) )
144	136, 143	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn J ) )
145		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) -> ( ( 1st ` w ) ` x ) = ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) )
146	109, 2, 115, 35, 135, 144, 145	cnmptk1p 21488	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn ( L ^ko K ) ) )
147	129, 146	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( y e. Y |-> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` y ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn ( L ^ko K ) ) )
148	105	mpt2mpt 6752	. . . . . . 7 |- ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) ) = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) )
149	62	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` t ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) )
150	86	mpt2mpt 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> y )
151	2, 3	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
152	150, 151	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
153	149, 152	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` t ) ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
154	99, 5, 137, 5, 153, 62	cnmpt21 21474	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn K ) )
155	148, 154	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn K ) )
156		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) -> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` y ) = ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) ) )
157	109, 3, 34, 36, 147, 155, 156	cnmptk1p 21488	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. ( ( J Cn ( L ^ko K ) ) X. ( X X. Y ) ) |-> ( ( ( 1st ` w ) ` ( 1st ` ( 2nd ` w ) ) ) ` ( 2nd ` ( 2nd ` w ) ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn L ) )
158	107, 157	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) , z e. ( X X. Y ) |-> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) e. ( ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) tX ( J tX K ) ) Cn L ) )
159	99, 5, 158	cnmpt2k 21491	. . 3 |- ( ph -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( z e. ( X X. Y ) |-> ( ( g ` ( 1st ` z ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) e. ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
160	90, 159	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> `' F e. ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) )
161		ishmeo 21562	. 2 |- ( F e. ( ( L ^ko ( J tX K ) ) Homeo ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) <-> ( F e. ( ( L ^ko ( J tX K ) ) Cn ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) /\ `' F e. ( ( ( L ^ko K ) ^ko J ) Cn ( L ^ko ( J tX K ) ) ) ) )
162	82, 160, 161	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> F e. ( ( L ^ko ( J tX K ) ) Homeo ( ( L ^ko K ) ^ko J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363   ^ko cxko 21364   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-xko 21366  df-hmeo 21558

This theorem is referenced by: (None)