Theorem txconn 21492

Description: The topological product of two connected spaces is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txconn	|- ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) -> ( R tX S ) e. Conn )

Proof of Theorem txconn

Dummy variables w a x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conntop 21220	. . 3 |- ( R e. Conn -> R e. Top )
2		conntop 21220	. . 3 |- ( S e. Conn -> S e. Top )
3		txtop 21372	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		neq0 3930	. . . . . . 7 |- ( -. x = (/) <-> E. z z e. x )
6		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) C_ ( R tX S )
7		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ z e. x ) -> x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) )
8	6, 7	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ z e. x ) -> x e. ( R tX S ) )
9		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( R tX S ) -> x C_ U. ( R tX S ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ z e. x ) -> x C_ U. ( R tX S ) )
11		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> w e. U. ( R tX S ) )
12		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> R e. Conn )
13	12, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> R e. Top )
14		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> S e. Conn )
15	14, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> S e. Top )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. R = U. R
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. S = U. S
18	16, 17	txuni 21395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
19	13, 15, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
20	11, 19	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> w e. ( U. R X. U. S ) )
21		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( U. R X. U. S ) -> w = <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> w = <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. )
23		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( U. R X. U. S ) -> ( 2nd ` w ) e. U. S )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( 2nd ` w ) e. U. S )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) = ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. )
26	25	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) " x ) = { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x }
27	17	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
28	15, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
29	16	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
30	13, 29	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
31		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. ( U. R X. U. S ) -> ( 1st ` w ) e. U. R )
32	20, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( 1st ` w ) e. U. R )
33	28, 30, 32	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( a e. U. S |-> ( 1st ` w ) ) e. ( S Cn R ) )
34	28	cnmptid 21464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( a e. U. S |-> a ) e. ( S Cn S ) )
35	28, 33, 34	cnmpt1t 21468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) e. ( S Cn ( R tX S ) ) )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) )
37	6, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> x e. ( R tX S ) )
38		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) e. ( S Cn ( R tX S ) ) /\ x e. ( R tX S ) ) -> ( `' ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) " x ) e. S )
39	35, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) " x ) e. S )
40	26, 39	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } e. S )
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> z e. x )
42		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. x /\ x e. ( R tX S ) ) -> z e. U. ( R tX S ) )
43	41, 37, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> z e. U. ( R tX S ) )
44	43, 19	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> z e. ( U. R X. U. S ) )
45		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( U. R X. U. S ) -> ( 2nd ` z ) e. U. S )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( 2nd ` z ) e. U. S )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) = ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. )
48	47	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( `' ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) " x ) = { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x }
49	30	cnmptid 21464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( a e. U. R |-> a ) e. ( R Cn R ) )
50	30, 28, 46	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( a e. U. R |-> ( 2nd ` z ) ) e. ( R Cn S ) )
51	30, 49, 50	cnmpt1t 21468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) e. ( R Cn ( R tX S ) ) )
52		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) e. ( R Cn ( R tX S ) ) /\ x e. ( R tX S ) ) -> ( `' ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) " x ) e. R )
53	51, 37, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) " x ) e. R )
54	48, 53	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } e. R )
55		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( U. R X. U. S ) -> ( 1st ` z ) e. U. R )
56	44, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( 1st ` z ) e. U. R )
57		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. ( U. R X. U. S ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
58	44, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
59	58, 41	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. e. x )
60		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = ( 1st ` z ) -> <. a , ( 2nd ` z ) >. = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = ( 1st ` z ) -> ( <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x <-> <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. e. x ) )
62	61	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( 1st ` z ) e. U. R /\ <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. e. x ) -> E. a e. U. R <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x )
63	56, 59, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> E. a e. U. R <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x )
64		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } =/= (/) <-> E. a e. U. R <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x )
65	63, 64	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } =/= (/) )
66		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) C_ ( Clsd ` ( R tX S ) )
67	66, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> x e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) )
68		cnclima 21072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) e. ( R Cn ( R tX S ) ) /\ x e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) " x ) e. ( Clsd ` R ) )
69	51, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( a e. U. R |-> <. a , ( 2nd ` z ) >. ) " x ) e. ( Clsd ` R ) )
70	48, 69	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } e. ( Clsd ` R ) )
71	16, 12, 54, 65, 70	connclo 21218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } = U. R )
72	32, 71	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( 1st ` w ) e. { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } )
73		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = ( 1st ` w ) -> <. a , ( 2nd ` z ) >. = <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. )
74	73	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( 1st ` w ) -> ( <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x <-> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. e. x ) )
75	74	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1st ` w ) e. { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } <-> ( ( 1st ` w ) e. U. R /\ <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. e. x ) )
76	75	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1st ` w ) e. { a e. U. R | <. a , ( 2nd ` z ) >. e. x } -> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. e. x )
77	72, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. e. x )
78		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = ( 2nd ` z ) -> <. ( 1st ` w ) , a >. = <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. )
79	78	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( 2nd ` z ) -> ( <. ( 1st ` w ) , a >. e. x <-> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. e. x ) )
80	79	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2nd ` z ) e. U. S /\ <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` z ) >. e. x ) -> E. a e. U. S <. ( 1st ` w ) , a >. e. x )
81	46, 77, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> E. a e. U. S <. ( 1st ` w ) , a >. e. x )
82		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } =/= (/) <-> E. a e. U. S <. ( 1st ` w ) , a >. e. x )
83	81, 82	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } =/= (/) )
84		cnclima 21072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) e. ( S Cn ( R tX S ) ) /\ x e. ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) " x ) e. ( Clsd ` S ) )
85	35, 67, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( a e. U. S |-> <. ( 1st ` w ) , a >. ) " x ) e. ( Clsd ` S ) )
86	26, 85	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } e. ( Clsd ` S ) )
87	17, 14, 40, 83, 86	connclo 21218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } = U. S )
88	24, 87	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> ( 2nd ` w ) e. { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } )
89		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( 2nd ` w ) -> <. ( 1st ` w ) , a >. = <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( 2nd ` w ) -> ( <. ( 1st ` w ) , a >. e. x <-> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. e. x ) )
91	90	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2nd ` w ) e. { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } <-> ( ( 2nd ` w ) e. U. S /\ <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. e. x ) )
92	91	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2nd ` w ) e. { a e. U. S | <. ( 1st ` w ) , a >. e. x } -> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. e. x )
93	88, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> <. ( 1st ` w ) , ( 2nd ` w ) >. e. x )
94	22, 93	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ ( z e. x /\ w e. U. ( R tX S ) ) ) -> w e. x )
95	94	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ z e. x ) -> ( w e. U. ( R tX S ) -> w e. x ) )
96	95	ssrdv 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ z e. x ) -> U. ( R tX S ) C_ x )
97	10, 96	eqssd 3620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) /\ z e. x ) -> x = U. ( R tX S ) )
98	97	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) -> ( z e. x -> x = U. ( R tX S ) ) )
99	98	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) -> ( E. z z e. x -> x = U. ( R tX S ) ) )
100	5, 99	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) -> ( -. x = (/) -> x = U. ( R tX S ) ) )
101	100	orrd 393	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) /\ x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. ( R tX S ) ) )
102	101	ex 450	. . . 4 |- ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) -> ( x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. ( R tX S ) ) ) )
103		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
104	103	elpr 4198	. . . 4 |- ( x e. { (/) , U. ( R tX S ) } <-> ( x = (/) \/ x = U. ( R tX S ) ) )
105	102, 104	syl6ibr 242	. . 3 |- ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) -> ( x e. ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) -> x e. { (/) , U. ( R tX S ) } ) )
106	105	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) -> ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) C_ { (/) , U. ( R tX S ) } )
107		eqid 2622	. . 3 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
108	107	isconn2 21217	. 2 |- ( ( R tX S ) e. Conn <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ ( ( R tX S ) i^i ( Clsd ` ( R tX S ) ) ) C_ { (/) , U. ( R tX S ) } ) )
109	4, 106, 108	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. Conn /\ S e. Conn ) -> ( R tX S ) e. Conn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028  Conncconn 21214   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-conn 21215  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem13  31297