Theorem cvrval5 34701

Description: Binary relation expressing X covers X ./\ Y. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval5.b	|- B = ( Base ` K )
cvrval5.l	|- .<_ = ( le ` K )
cvrval5.j	|- .\/ = ( join ` K )
cvrval5.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cvrval5.c	|- C = ( <o ` K )
cvrval5.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvrval5	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) C X <-> E. p e. A ( -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) = X ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   C, p   K, p   .<_ , p   ./\ , p   X, p   Y, p

Allowed substitution hint:   .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. HL )
2		hllat 34650	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
3		cvrval5.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
4		cvrval5.m	. . . . 5 |- ./\ = ( meet ` K )
5	3, 4	latmcl 17052	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
6	2, 5	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
7		simp2 1062	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
8		cvrval5.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
9		cvrval5.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
10		cvrval5.c	. . . 4 |- C = ( <o ` K )
11		cvrval5.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
12	3, 8, 9, 10, 11	cvrval3 34699	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) C X <-> E. p e. A ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) ) )
13	1, 6, 7, 12	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) C X <-> E. p e. A ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) ) )
14	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> K e. Lat )
16	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
17	3, 11	atbase 34576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. A -> p e. B )
18	17	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> p e. B )
19	3, 8, 9	latlej2 17061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ p e. B ) -> p .<_ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) )
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> p .<_ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X )
22	20, 21	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> p .<_ X )
23	22	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> ( p .<_ Y <-> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
24		simpll2 1101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> X e. B )
25		simpll3 1102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> Y e. B )
26	3, 8, 4	latlem12 17078	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> p .<_ ( X ./\ Y ) ) )
27	15, 18, 24, 25, 26	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> p .<_ ( X ./\ Y ) ) )
28	23, 27	bitr2d 269	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> ( p .<_ ( X ./\ Y ) <-> p .<_ Y ) )
29	28	notbid 308	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) -> ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) <-> -. p .<_ Y ) )
30	29	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X -> ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) <-> -. p .<_ Y ) ) )
31	30	pm5.32rd 672	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) <-> ( -. p .<_ Y /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) ) )
32	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. Lat )
33	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
34	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> p e. B )
35	3, 9	latjcom 17059	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ p e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) )
37	36	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X <-> ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) = X ) )
38	37	anbi2d 740	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ Y /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) <-> ( -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) = X ) ) )
39	31, 38	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) <-> ( -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) = X ) ) )
40	39	rexbidva 3049	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ ( X ./\ Y ) /\ ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) = X ) <-> E. p e. A ( -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) = X ) ) )
41	13, 40	bitrd 268	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) C X <-> E. p e. A ( -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ Y ) ) = X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  35310