Theorem latlej2 17061

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 28367 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	|- B = ( Base ` K )
latlej.l	|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
latlej2	|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y .<_ ( X .\/ Y ) )

Proof of Theorem latlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		latlej.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		latlej.j	. 2 |- .\/ = ( join ` K )
4		simp1 1061	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )
5		simp2 1062	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
6		simp3 1063	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 17048	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( <. X , Y >. e. dom .\/ /\ <. X , Y >. e. dom ( meet ` K ) ) )
9	8	simpld 475	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. dom .\/ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin2 17013	1 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y .<_ ( X .\/ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-lub 16974  df-join 16976  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  latleeqj1  17063  latjlej1  17065  latnlej  17068  latnlej2  17071  latjass  17095  lubun  17123  oldmm1  34504  cmtcomlemN  34535  cmtbr4N  34542  cvlexchb1  34617  cvlatexch1  34623  cvrval5  34701  2llnjaN  34852  4atlem3b  34884  2lplnja  34905  dalem5  34953  dalem17  34966  dalem39  34997  dalem43  35001  elpaddn0  35086  pmapjoin  35138  dalawlem2  35158  dalawlem11  35167  dalawlem12  35168  lautj  35379  trljat2  35454  cdleme0cq  35502  cdleme1  35514  cdleme3  35524  cdleme5  35527  cdleme7ga  35535  cdleme10  35541  cdleme15b  35562  cdleme16b  35566  cdleme20k  35607  cdleme22e  35632  cdleme22eALTN  35633  cdleme23c  35639  cdleme28a  35658  cdleme32e  35733  cdleme35a  35736  cdlemg4c  35900  cdlemg6c  35908  trlcolem  36014  cdlemi1  36106  dia2dimlem2  36354  cdlemm10N  36407  dihord2pre2  36515  dihord5apre  36551  dihjatc1  36600