Theorem dflt2 11981

Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dflt2	|- < = ( <_ \ _I )

Proof of Theorem dflt2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrel 10100	. 2 |- Rel <
2		difss 3737	. . 3 |- ( <_ \ _I ) C_ <_
3		lerel 10102	. . 3 |- Rel <_
4		relss 5206	. . 3 |- ( ( <_ \ _I ) C_ <_ -> ( Rel <_ -> Rel ( <_ \ _I ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 |- Rel ( <_ \ _I )
6		ltrelxr 10099	. . . 4 |- < C_ ( RR* X. RR* )
7	6	brel 5168	. . 3 |- ( x < y -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
8		lerelxr 10101	. . . . 5 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
9	2, 8	sstri 3612	. . . 4 |- ( <_ \ _I ) C_ ( RR* X. RR* )
10	9	brel 5168	. . 3 |- ( x ( <_ \ _I ) y -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
11		xrltlen 11979	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
12		equcom 1945	. . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
13		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
14	13	ideq 5274	. . . . . . . 8 |- ( x _I y <-> x = y )
15	12, 14	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( y = x <-> x _I y )
16	15	necon3abii 2840	. . . . . 6 |- ( y =/= x <-> -. x _I y )
17	16	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( x <_ y /\ y =/= x ) <-> ( x <_ y /\ -. x _I y ) )
18	11, 17	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y <-> ( x <_ y /\ -. x _I y ) ) )
19		brdif 4705	. . . 4 |- ( x ( <_ \ _I ) y <-> ( x <_ y /\ -. x _I y ) )
20	18, 19	syl6bbr 278	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y <-> x ( <_ \ _I ) y ) )
21	7, 10, 20	pm5.21nii 368	. 2 |- ( x < y <-> x ( <_ \ _I ) y )
22	1, 5, 21	eqbrriv 5215	1 |- < = ( <_ \ _I )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   Rel wrel 5119   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  relt  19961  xrslt  29676