Theorem xrltle 11982

Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltle	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem xrltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 400	. 2 |- ( A < B -> ( A < B \/ A = B ) )
2		xrleloe 11977	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3	1, 2	syl5ibr 236	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xrletri  11984  xrletr  11989  qextltlem  12033  xmulge0  12114  supxrunb1  12149  ico0  12221  ioc0  12222  ioossicc  12259  icossicc  12260  iocssicc  12261  ioossico  12262  snunioo  12298  snunico  12299  snunioc  12300  ioopnfsup  12663  icopnfsup  12664  hashnnn0genn0  13131  pcadd2  15594  leordtval2  21016  lecldbas  21023  xblss2ps  22206  xblss2  22207  blhalf  22210  blssps  22229  blss  22230  blcls  22311  stdbdxmet  22320  stdbdmopn  22323  metcnpi3  22351  blcvx  22601  tgqioo  22603  xrsmopn  22615  metdcnlem  22639  metnrmlem1a  22661  bndth  22757  ovolgelb  23248  icombl  23332  ioorcl2  23340  ioorf  23341  ioorinv2  23343  volivth  23375  itg2seq  23509  itg2monolem2  23518  itg2cnlem2  23529  dvferm1lem  23747  dvferm2lem  23749  dvferm  23751  dvivthlem1  23771  lhop2  23778  radcnvle  24174  tanord1  24283  dvloglem  24394  iocinif  29543  difioo  29544  esumpinfsum  30139  omssubadd  30362  elicc3  32311  tan2h  33401  heicant  33444  itg2addnclem  33461  ftc1anclem7  33491  ioounsn  37795  radcnvrat  38513  xrltled  39486  ioossioc  39713  ioossioobi  39743  fouriersw  40448  iccpartleu  41364  iccpartgel  41365  iccpartnel  41374