Theorem dfrecs3 7469

Description: The old definition of transfinite recursion. This version is preferred for development, as it demonstrates the properties of transfinite recursion without relying on well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrecs3	|- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }

Distinct variable group:   f, F, x, y

Proof of Theorem dfrecs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-recs 7468	. 2 |- recs ( F ) = wrecs ( _E , On , F )
2		df-wrecs 7407	. 2 |- wrecs ( _E , On , F ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) }
3		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( f Fn x /\ ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) ) )
4		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
5	4	elon 5732	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On <-> Ord x )
6		ordsson 6989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> x C_ On )
7		ordtr 5737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
8	6, 7	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord x -> ( x C_ On /\ Tr x ) )
9		epweon 6983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _E We On
10		wess 5101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ On -> ( _E We On -> _E We x ) )
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ On -> _E We x )
12	11	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Tr x /\ x C_ On ) -> ( Tr x /\ _E We x ) )
13	12	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) -> ( Tr x /\ _E We x ) )
14		df-ord 5726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) -> Ord x )
16	8, 15	impbii 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord x <-> ( x C_ On /\ Tr x ) )
17		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ On /\ y e. x ) -> y e. On )
18		predon 6991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> Pred ( _E , On , y ) = y )
19	18	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. On -> ( Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> y C_ x ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x C_ On /\ y e. x ) -> ( Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> y C_ x ) )
21	20	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ On -> ( A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> A. y e. x y C_ x ) )
22		dftr3 4756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
23	21, 22	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ On -> ( Tr x <-> A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
24	23	pm5.32i 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) <-> ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
25	5, 16, 24	3bitri 286	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On <-> ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
26	25	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) )
27		onelon 5748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
28	18	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) = ( f |` y ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> ( ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
32	31	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
33	32	pm5.32i 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
34	26, 33	bitr3i 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
35	34	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) ) <-> ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
36		an12 838	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
37	3, 35, 36	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
38	37	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
39		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
40	38, 39	bitr4i 267	. . . 4 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
41	40	abbii 2739	. . 3 |- { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
42	41	unieqi 4445	. 2 |- U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) } = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
43	1, 2, 42	3eqtri 2648	1 |- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   _E cep 5028   We wwe 5072   |` cres 5116   Predcpred 5679   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  wrecscwrecs 7406  recscrecs 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fv 5896  df-wrecs 7407  df-recs 7468

This theorem is referenced by:  recsfval  7477  tfrlem9  7481  dfrdg2  31701  dfrecs2  32057