Theorem dfrecs2 32057

Description: A quantifier-free definition of recs. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrecs2	|- recs ( F ) = U. ( ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) \ dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) )

Proof of Theorem dfrecs2

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrecs3 7469	. 2 |- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) <-> ( f e. Funs /\ f e. ( `'Domain " On ) ) )
3		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
4	3	elfuns 32022	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. Funs <-> Fun f )
5		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
6	5, 3	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x `'Domain f <-> fDomain x )
7	3, 5	brdomain 32040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( fDomain x <-> x = dom f )
8	6, 7	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x `'Domain f <-> x = dom f )
9	8	rexbii 3041	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. On x `'Domain f <-> E. x e. On x = dom f )
10	3	elima 5471	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( `'Domain " On ) <-> E. x e. On x `'Domain f )
11		risset 3062	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom f e. On <-> E. x e. On x = dom f )
12	9, 10, 11	3bitr4i 292	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( `'Domain " On ) <-> dom f e. On )
13	4, 12	anbi12i 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. Funs /\ f e. ( `'Domain " On ) ) <-> ( Fun f /\ dom f e. On ) )
14	2, 13	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) <-> ( Fun f /\ dom f e. On ) )
15	3	eldm 5321	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) <-> E. y f ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) y )
16		brdif 4705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) y <-> ( f ( `' _E o. Domain ) y /\ -. f Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) y ) )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
18	3, 17	brco 5292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f ( `' _E o. Domain ) y <-> E. x ( fDomain x /\ x `' _E y ) )
19	7	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( fDomain x /\ x `' _E y ) <-> ( x = dom f /\ x `' _E y ) )
20	19	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. x ( fDomain x /\ x `' _E y ) <-> E. x ( x = dom f /\ x `' _E y ) )
21	3	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom f e. _V
22		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = dom f -> ( x `' _E y <-> dom f `' _E y ) )
23	21, 22	ceqsexv 3242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. x ( x = dom f /\ x `' _E y ) <-> dom f `' _E y )
24	20, 23	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x ( fDomain x /\ x `' _E y ) <-> dom f `' _E y )
25	21, 17	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom f `' _E y <-> y _E dom f )
26	21	epelc 5031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y _E dom f <-> y e. dom f )
27	25, 26	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom f `' _E y <-> y e. dom f )
28	18, 24, 27	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ( `' _E o. Domain ) y <-> y e. dom f )
29		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) y <-> <. f , y >. e. Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) )
30		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <. f , y >. e. _V
31	30	elfix 32010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. f , y >. e. Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) <-> <. f , y >. ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) <. f , y >. )
32	30, 30	brco 5292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. f , y >. ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) <. f , y >. <-> E. x ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x /\ x `'Apply <. f , y >. ) )
33		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x /\ x `'Apply <. f , y >. ) <-> ( x `'Apply <. f , y >. /\ <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x ) )
34	5, 30	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x `'Apply <. f , y >. <-> <. f , y >.Apply x )
35	3, 17, 5	brapply 32045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. f , y >.Apply x <-> x = ( f ` y ) )
36	34, 35	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x `'Apply <. f , y >. <-> x = ( f ` y ) )
37	36	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x `'Apply <. f , y >. /\ <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x ) <-> ( x = ( f ` y ) /\ <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x ) )
38	33, 37	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x /\ x `'Apply <. f , y >. ) <-> ( x = ( f ` y ) /\ <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x ) )
39	38	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. x ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x /\ x `'Apply <. f , y >. ) <-> E. x ( x = ( f ` y ) /\ <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x ) )
40		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f ` y ) e. _V
41		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( f ` y ) -> ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x <-> <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) ( f ` y ) ) )
42	40, 41	ceqsexv 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. x ( x = ( f ` y ) /\ <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x ) <-> <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) ( f ` y ) )
43	39, 42	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. x ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) x /\ x `'Apply <. f , y >. ) <-> <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) ( f ` y ) )
44	30, 40	brco 5292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) ( f ` y ) <-> E. x ( <. f , y >.Restrict x /\ xFullFun F ( f ` y ) ) )
45	3, 17, 5	brrestrict 32056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. f , y >.Restrict x <-> x = ( f |` y ) )
46	45	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( <. f , y >.Restrict x /\ xFullFun F ( f ` y ) ) <-> ( x = ( f |` y ) /\ xFullFun F ( f ` y ) ) )
47	46	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. x ( <. f , y >.Restrict x /\ xFullFun F ( f ` y ) ) <-> E. x ( x = ( f |` y ) /\ xFullFun F ( f ` y ) ) )
48	3	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f |` y ) e. _V
49		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( f |` y ) -> ( xFullFun F ( f ` y ) <-> ( f |` y )FullFun F ( f ` y ) ) )
50	48, 49	ceqsexv 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. x ( x = ( f |` y ) /\ xFullFun F ( f ` y ) ) <-> ( f |` y )FullFun F ( f ` y ) )
51	47, 50	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. x ( <. f , y >.Restrict x /\ xFullFun F ( f ` y ) ) <-> ( f |` y )FullFun F ( f ` y ) )
52	48, 40	brfullfun 32055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f |` y )FullFun F ( f ` y ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
53	44, 51, 52	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. f , y >. (FullFun F o. Restrict ) ( f ` y ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
54	32, 43, 53	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. f , y >. ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) <. f , y >. <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
55	29, 31, 54	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) y <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
56	55	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. f Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) y <-> -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
57	28, 56	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ( `' _E o. Domain ) y /\ -. f Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) y ) <-> ( y e. dom f /\ -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
58	16, 57	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) y <-> ( y e. dom f /\ -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
59	58	exbii 1774	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y f ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) y <-> E. y ( y e. dom f /\ -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
60	15, 59	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) <-> E. y ( y e. dom f /\ -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
61		df-rex 2918	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. dom f -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) <-> E. y ( y e. dom f /\ -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
62		rexnal 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. dom f -. ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) <-> -. A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
63	60, 61, 62	3bitr2ri 289	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) <-> f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) )
64	63	con1bii 346	. . . . . . . 8 |- ( -. f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) <-> A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
65	14, 64	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) /\ -. f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) <-> ( ( Fun f /\ dom f e. On ) /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
66		anass 681	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun f /\ dom f e. On ) /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) <-> ( Fun f /\ ( dom f e. On /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
67	65, 66	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) /\ -. f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) <-> ( Fun f /\ ( dom f e. On /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
68		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = dom f -> ( x e. On <-> dom f e. On ) )
69		raleq 3138	. . . . . . . . 9 |- ( x = dom f -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
70	68, 69	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = dom f -> ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) <-> ( dom f e. On /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
71	70	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( x = dom f -> ( ( Fun f /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( Fun f /\ ( dom f e. On /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) ) )
72	21, 71	ceqsexv 3242	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = dom f /\ ( Fun f /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) ) <-> ( Fun f /\ ( dom f e. On /\ A. y e. dom f ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
73		df-fn 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x <-> ( Fun f /\ dom f = x ) )
74		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom f = x <-> x = dom f )
75	74	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun f /\ dom f = x ) <-> ( Fun f /\ x = dom f ) )
76		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun f /\ x = dom f ) <-> ( x = dom f /\ Fun f ) )
77	73, 75, 76	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( f Fn x <-> ( x = dom f /\ Fun f ) )
78	77	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( ( x = dom f /\ Fun f ) /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
79		an12 838	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
80		anass 681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x = dom f /\ Fun f ) /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( x = dom f /\ ( Fun f /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) ) )
81	78, 79, 80	3bitr3ri 291	. . . . . . 7 |- ( ( x = dom f /\ ( Fun f /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
82	81	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = dom f /\ ( Fun f /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
83	67, 72, 82	3bitr2i 288	. . . . 5 |- ( ( f e. ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) /\ -. f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
84		eldif 3584	. . . . 5 |- ( f e. ( ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) \ dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) <-> ( f e. ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) /\ -. f e. dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) )
85		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
86	83, 84, 85	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( f e. ( ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) \ dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) <-> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
87	86	abbi2i 2738	. . 3 |- ( ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) \ dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
88	87	unieqi 4445	. 2 |- U. ( ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) \ dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
89	1, 88	eqtr4i 2647	1 |- recs ( F ) = U. ( ( Funs i^i ( `'Domain " On ) ) \ dom ( ( `' _E o. Domain ) \ Fix ( `'Apply o. (FullFun F o. Restrict ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fixcfix 31942   Funscfuns 31944  Domaincdomain 31950  Applycapply 31952  FullFuncfullfn 31957  Restrictcrestrict 31958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-symdif 3844  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-txp 31961  df-pprod 31962  df-bigcup 31965  df-fix 31966  df-funs 31968  df-singleton 31969  df-singles 31970  df-image 31971  df-cart 31972  df-img 31973  df-domain 31974  df-range 31975  df-cap 31977  df-restrict 31978  df-apply 31980  df-funpart 31981  df-fullfun 31982

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