dfrdg2 - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem dfrdg2 31701

Description: Alternate definition of the recursive function generator when

is a set. (Contributed by Scott Fenton, 26-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
dfrdg2	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem dfrdg2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 7508	. . 3
2		ifeq1 4090	. . . . . . . . 9
3	2	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8
4	3	ralbidv 2986	. . . . . . 7
5	4	anbi2d 740	. . . . . 6 $/\$ $/\$
6	5	rexbidv 3052	. . . . 5 $/\$ $/\$
7	6	abbidv 2741	. . . 4 $/\$ $/\$
8	7	unieqd 4446	. . 3 $/\$ $/\$
9	1, 8	eqeq12d 2637	. 2 $/\$ $/\$
10		df-rdg 7506	. . 3 recs
11		dfrecs3 7469	. . 3 recs $/\$
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	resex 5443	. . . . . . . . . . . 12
14		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		relres 5426	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16		reldm0 5343	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	14, 17	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14
19		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
22		rneq 5351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	22, 23	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15
26		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27	19	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	26, 27	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	21, 25, 29	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . 14
31	18, 30	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . 13
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14
34		imaexg 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	12, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	uniex 6953	. . . . . . . . . . . . . . 15
37		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	36, 37	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14
39	33, 38	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . 13
40	31, 32, 39	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12
41	13, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
42		dmres 5419	. . . . . . . . . . . . 13
43		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	44	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
46		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
48	45, 47	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . 14
50	48, 49	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
51	42, 50	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14
53		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	53, 56	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . 14
58	52, 57	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . 13
59		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
60		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
62	61	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
63		ordzsl 7045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
64		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	64, 65	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
68	67	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
72		ordunisuc 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	70, 74, 75	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
78		nsuceq0 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
79	78	neii 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
80	79	iffalsei 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81		nlimsucg 7042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
82		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83	67, 81, 82	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84	80, 83	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85	79	iffalsei 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87	67, 81, 86	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88	85, 87	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89	77, 84, 88	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
92		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
93		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
94	92, 93	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96	91, 95	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97	90, 96	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
100	91, 99	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101	90, 100	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102	97, 101	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103	89, 102	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
104	103	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106		df-lim 5728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
107	106	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108	107	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109	108	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111	105, 109, 110	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
112	108	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113	111, 112	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	66, 104, 113	3jaoi 1391	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
115	63, 114	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14
116	62, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
117	58, 116	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	51, 117	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
119	41, 118	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	119	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
121	120	3expa 1265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
122	121	ralbidva 2985	. . . . . . 7 $/\$
123	122	pm5.32da 673	. . . . . 6 $/\$ $/\$
124	123	rexbiia 3040	. . . . 5 $/\$ $/\$
125	124	abbii 2739	. . . 4 $/\$ $/\$
126	125	unieqi 4445	. . 3 $/\$ $/\$
127	10, 11, 126	3eqtri 2648	. 2 $/\$
128	9, 127	vtoclg 3266	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cuni 4436

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

wrel 5119

word 5722

con0 5723

wlim 5724

csuc 5725

wfn 5883

cfv 5888 recscrecs 7467

crdg 7505

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-fv 5896 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506

This theorem is referenced by: dfrdg3 31702

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