Theorem salexct3 40560

Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct3.a	|- A = ( 0 [,] 2 )
salexct3.s	|- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }
salexct3.x	|- X = ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } )

Assertion

Ref	Expression
salexct3	|- ( S e. SAlg /\ X C_ S /\ -. U. X e. S )

Distinct variable groups:   x, A   x, S, y   x, X

Allowed substitution hints:   A( y)   X( y)

Proof of Theorem salexct3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct3.a	. . . . . 6 |- A = ( 0 [,] 2 )
2		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0 [,] 2 ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . 5 |- A e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> A e. _V )
5		salexct3.s	. . . 4 |- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }
6	4, 5	salexct 40552	. . 3 |- ( T. -> S e. SAlg )
7	6	trud 1493	. 2 |- S e. SAlg
8		salexct3.x	. . 3 |- X = ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } )
9		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
10		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
11	9, 10	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR /\ 2 e. RR )
12	9	leidi 10562	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 0
13		1le2 11241	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 <_ 2
14	12, 13	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 <_ 0 /\ 1 <_ 2 )
15		iccss 12241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( 0 <_ 0 /\ 1 <_ 2 ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ ( 0 [,] 2 ) )
16	11, 14, 15	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ ( 0 [,] 2 )
17		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. ( 0 [,] 1 ) )
18	16, 17	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. ( 0 [,] 2 ) )
19	18, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. A )
20		snelpwi 4912	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> { y } e. ~P A )
22		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
23		fict 8550	. . . . . . . . . 10 |- ( { y } e. Fin -> { y } ~<_ om )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { y } ~<_ om
25		orc 400	. . . . . . . . 9 |- ( { y } ~<_ om -> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om )
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
28	21, 27	jca 554	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
29		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x ~<_ om <-> { y } ~<_ om ) )
30		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y } -> ( A \ x ) = ( A \ { y } ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
32	29, 31	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
33	32, 5	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( { y } e. S <-> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
34	28, 33	sylibr 224	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> { y } e. S )
35	34	rgen 2922	. . . 4 |- A. y e. ( 0 [,] 1 ) { y } e. S
36		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } )
37	36	rnmptss 6392	. . . 4 |- ( A. y e. ( 0 [,] 1 ) { y } e. S -> ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } ) C_ S )
38	35, 37	ax-mp 5	. . 3 |- ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } ) C_ S
39	8, 38	eqsstri 3635	. 2 |- X C_ S
40	8	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. X = U. ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } )
41		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { y } e. _V
42	41	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. y e. ( 0 [,] 1 ) { y } e. _V
43		dfiun3g 5378	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( 0 [,] 1 ) { y } e. _V -> U_ y e. ( 0 [,] 1 ) { y } = U. ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } ) )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- U_ y e. ( 0 [,] 1 ) { y } = U. ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } )
45	44	eqcomi 2631	. . . . 5 |- U. ran ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> { y } ) = U_ y e. ( 0 [,] 1 ) { y }
46		iunid 4575	. . . . 5 |- U_ y e. ( 0 [,] 1 ) { y } = ( 0 [,] 1 )
47	40, 45, 46	3eqtrri 2649	. . . 4 |- ( 0 [,] 1 ) = U. X
48	47	eqcomi 2631	. . 3 |- U. X = ( 0 [,] 1 )
49	1, 5, 48	salexct2 40557	. 2 |- -. U. X e. S
50	7, 39, 49	3pm3.2i 1239	1 |- ( S e. SAlg /\ X C_ S /\ -. U. X e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   2c2 11070   [,]cicc 12178  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-salg 40529

This theorem is referenced by: (None)