Theorem eigorth 28697

Description: A necessary and sufficient condition (that holds when T is a Hermitian operator) for two eigenvectors A and B to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eigorth	|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) /\ ( ( ( T ` A ) = ( C .h A ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) ) -> ( ( A .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) <-> ( A .ih B ) = 0 ) )

Proof of Theorem eigorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` A ) = ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( C .h A ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) )
3	1, 2	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` A ) = ( C .h A ) <-> ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) )
4	3	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` A ) = ( C .h A ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) ) )
5	4	anbi1d 741	. . . 4 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( ( T ` A ) = ( C .h A ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) <-> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) ) )
6		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A .ih ( T ` B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) )
7	1	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) )
8	6, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( A .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) ) )
9		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A .ih B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) )
10	9	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( A .ih B ) = 0 <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = 0 ) )
11	8, 10	bibi12d 335	. . . 4 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( A .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) <-> ( A .ih B ) = 0 ) <-> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = 0 ) ) )
12	5, 11	imbi12d 334	. . 3 |- ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( ( ( T ` A ) = ( C .h A ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) -> ( ( A .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) <-> ( A .ih B ) = 0 ) ) <-> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = 0 ) ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` B ) = ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( D .h B ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` B ) = ( D .h B ) <-> ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
17	16	anbi1d 741	. . . 4 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) <-> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) ) )
18	13	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
19		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
21		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = 0 <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) )
23	20, 22	bibi12d 335	. . . 4 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = 0 ) <-> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) ) )
24	17, 23	imbi12d 334	. . 3 |- ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih B ) = 0 ) ) <-> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( C = if ( C e. CC , C , 0 ) -> ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) )
26	25	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( C = if ( C e. CC , C , 0 ) -> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) <-> ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) ) )
27	26	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( C = if ( C e. CC , C , 0 ) -> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
28		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( C = if ( C e. CC , C , 0 ) -> ( C =/= ( * ` D ) <-> if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` D ) ) )
29	27, 28	anbi12d 747	. . . 4 |- ( C = if ( C e. CC , C , 0 ) -> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) <-> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` D ) ) ) )
30	29	imbi1d 331	. . 3 |- ( C = if ( C e. CC , C , 0 ) -> ( ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( C .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) ) <-> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` D ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) ) ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( if ( D e. CC , D , 0 ) .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
32	31	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( if ( D e. CC , D , 0 ) .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
33	32	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( if ( D e. CC , D , 0 ) .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
34		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( * ` D ) = ( * ` if ( D e. CC , D , 0 ) ) )
35	34	neeq2d 2854	. . . . 5 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` D ) <-> if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` if ( D e. CC , D , 0 ) ) ) )
36	33, 35	anbi12d 747	. . . 4 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` D ) ) <-> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( if ( D e. CC , D , 0 ) .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` if ( D e. CC , D , 0 ) ) ) ) )
37	36	imbi1d 331	. . 3 |- ( D = if ( D e. CC , D , 0 ) -> ( ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( D .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` D ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) ) <-> ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( if ( D e. CC , D , 0 ) .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` if ( D e. CC , D , 0 ) ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) ) ) )
38		ifhvhv0 27879	. . . 4 |- if ( A e. ~H , A , 0h ) e. ~H
39		ifhvhv0 27879	. . . 4 |- if ( B e. ~H , B , 0h ) e. ~H
40		0cn 10032	. . . . 5 |- 0 e. CC
41	40	elimel 4150	. . . 4 |- if ( C e. CC , C , 0 ) e. CC
42	40	elimel 4150	. . . 4 |- if ( D e. CC , D , 0 ) e. CC
43	38, 39, 41, 42	eigorthi 28696	. . 3 |- ( ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) = ( if ( C e. CC , C , 0 ) .h if ( A e. ~H , A , 0h ) ) /\ ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( if ( D e. CC , D , 0 ) .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) /\ if ( C e. CC , C , 0 ) =/= ( * ` if ( D e. CC , D , 0 ) ) ) -> ( ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih ( T ` if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) <-> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = 0 ) )
44	12, 24, 30, 37, 43	dedth4h 4142	. 2 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( ( T ` A ) = ( C .h A ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) -> ( ( A .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) <-> ( A .ih B ) = 0 ) ) )
45	44	imp 445	1 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) /\ ( ( ( T ` A ) = ( C .h A ) /\ ( T ` B ) = ( D .h B ) ) /\ C =/= ( * ` D ) ) ) -> ( ( A .ih ( T ` B ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) <-> ( A .ih B ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   *ccj 13836   ~Hchil 27776   .h csm 27778   .ih csp 27779   0hc0v 27781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841

This theorem is referenced by:  eighmorth  28823