Theorem limcrcl 23638

Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcrcl	|- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Proof of Theorem limcrcl

Dummy variables f j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-limc 23630	. . 3 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , x e. CC |-> { y | [. ( TopOpen ` ℂfld ) / j ]. ( z e. ( dom f u. { x } ) |-> if ( z = x , y , ( f ` z ) ) ) e. ( ( ( j ↾t ( dom f u. { x } ) ) CnP j ) ` x ) } )
2	1	elmpt2cl 6876	. 2 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) )
3		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
4	3, 3	elpm2 7889	. . . 4 |- ( F e. ( CC ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) )
5	4	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
6		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ B e. CC ) )
7	5, 6	bitr4i 267	. 2 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	2, 7	sylib 208	1 |- ( C e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   {cab 2608   [.wsbc 3435   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  limccl  23639  limcdif  23640  limcresi  23649  limcres  23650  limccnp  23655  limccnp2  23656  limcco  23657  limcun  23659  mullimc  39848  limccog  39852  mullimcf  39855  limcperiod  39860  limcmptdm  39867  neglimc  39879  addlimc  39880  0ellimcdiv  39881  reclimc  39885