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Theorem enfin2i 9143
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i |- ( A ~~ B -> ( A e. FinII -> B e. FinII ) )
Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7964 . . 3 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2 elpwi 4168 . . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P B -> x C_ ~P B )
3 imauni 6504 . . . . . . . . . . 11 |- ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) = U_ z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ( f " z )
4 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- f e. _V
54imaex 7104 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f " z ) e. _V
65dfiun2 4554 . . . . . . . . . . 11 |- U_ z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ( f " z ) = U. { w | E. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } w = ( f " z ) }
73, 6eqtri 2644 . . . . . . . . . 10 |- ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) = U. { w | E. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } w = ( f " z ) }
8 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( f " y ) = ( f " z ) )
98eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( ( f " y ) e. x <-> ( f " z ) e. x ) )
109rexrab 3370 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } w = ( f " z ) <-> E. z e. ~P A ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) )
11 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( f " z ) -> ( w e. x <-> ( f " z ) e. x ) )
1211biimparc 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) -> w e. x )
1312rexlimivw 3029 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z e. ~P A ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) -> w e. x )
14 cnvimass 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' f " w ) C_ dom f
15 f1odm 6141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> dom f = A )
1615ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> dom f = A )
1714, 16syl5sseq 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> ( `' f " w ) C_ A )
184cnvex 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' f e. _V
1918imaex 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' f " w ) e. _V
2019elpw 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' f " w ) e. ~P A <-> ( `' f " w ) C_ A )
2117, 20sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> ( `' f " w ) e. ~P A )
22 f1ofo 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
2322ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> f : A -onto-> B )
24 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> x C_ ~P B )
2524sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> w e. ~P B )
2625elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> w C_ B )
27 foimacnv 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -onto-> B /\ w C_ B ) -> ( f " ( `' f " w ) ) = w )
2823, 26, 27syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> ( f " ( `' f " w ) ) = w )
2928eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> w = ( f " ( `' f " w ) ) )
30 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> w e. x )
3129, 30eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> ( f " ( `' f " w ) ) e. x )
32 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( `' f " w ) -> ( f " z ) = ( f " ( `' f " w ) ) )
3332eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( `' f " w ) -> ( ( f " z ) e. x <-> ( f " ( `' f " w ) ) e. x ) )
3432eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( `' f " w ) -> ( w = ( f " z ) <-> w = ( f " ( `' f " w ) ) ) )
3533, 34anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( `' f " w ) -> ( ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) <-> ( ( f " ( `' f " w ) ) e. x /\ w = ( f " ( `' f " w ) ) ) ) )
3635rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( `' f " w ) e. ~P A /\ ( ( f " ( `' f " w ) ) e. x /\ w = ( f " ( `' f " w ) ) ) ) -> E. z e. ~P A ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) )
3721, 31, 29, 36syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> E. z e. ~P A ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) )
3837ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> ( w e. x -> E. z e. ~P A ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) ) )
3913, 38impbid2 216 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> ( E. z e. ~P A ( ( f " z ) e. x /\ w = ( f " z ) ) <-> w e. x ) )
4010, 39syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> ( E. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } w = ( f " z ) <-> w e. x ) )
4140abbi1dv 2743 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> { w | E. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } w = ( f " z ) } = x )
4241unieqd 4446 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> U. { w | E. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } w = ( f " z ) } = U. x )
437, 42syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) = U. x )
44 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> A e. FinII )
45 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . 12 |- { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } C_ ~P A
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } C_ ~P A )
47 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> x =/= (/) )
48 n0 3931 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x =/= (/) <-> E. w w e. x )
4947, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> E. w w e. x )
50 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( `' f " w ) -> ( f " y ) = ( f " ( `' f " w ) ) )
5150eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( `' f " w ) -> ( ( f " y ) e. x <-> ( f " ( `' f " w ) ) e. x ) )
5251rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' f " w ) e. ~P A /\ ( f " ( `' f " w ) ) e. x ) -> E. y e. ~P A ( f " y ) e. x )
5321, 31, 52syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ w e. x ) -> E. y e. ~P A ( f " y ) e. x )
5449, 53exlimddv 1863 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> E. y e. ~P A ( f " y ) e. x )
55 rabn0 3958 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } =/= (/) <-> E. y e. ~P A ( f " y ) e. x )
5654, 55sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } =/= (/) )
579elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } <-> ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) )
58 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( f " y ) = ( f " w ) )
5958eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( f " y ) e. x <-> ( f " w ) e. x ) )
6059elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } <-> ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) )
6157, 60anbi12i 733 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } /\ w e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) <-> ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) )
62 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> [ C.] Or x )
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> [ C.] Or x )
64 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( f " z ) e. x )
65 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( f " w ) e. x )
66 sorpssi 6943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or x /\ ( ( f " z ) e. x /\ ( f " w ) e. x ) ) -> ( ( f " z ) C_ ( f " w ) \/ ( f " w ) C_ ( f " z ) ) )
6763, 64, 65, 66syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( ( f " z ) C_ ( f " w ) \/ ( f " w ) C_ ( f " z ) ) )
68 f1of1 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -1-1-> B )
6968ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> f : A -1-1-> B )
70 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> z e. ~P A )
7170elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> z C_ A )
72 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> w e. ~P A )
7372elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> w C_ A )
74 f1imass 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ ( z C_ A /\ w C_ A ) ) -> ( ( f " z ) C_ ( f " w ) <-> z C_ w ) )
7569, 71, 73, 74syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( ( f " z ) C_ ( f " w ) <-> z C_ w ) )
76 f1imass 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ ( w C_ A /\ z C_ A ) ) -> ( ( f " w ) C_ ( f " z ) <-> w C_ z ) )
7769, 73, 71, 76syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( ( f " w ) C_ ( f " z ) <-> w C_ z ) )
7875, 77orbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( ( ( f " z ) C_ ( f " w ) \/ ( f " w ) C_ ( f " z ) ) <-> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
7967, 78mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( ( z e. ~P A /\ ( f " z ) e. x ) /\ ( w e. ~P A /\ ( f " w ) e. x ) ) ) -> ( z C_ w \/ w C_ z ) )
8061, 79sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) /\ ( z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } /\ w e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) ) -> ( z C_ w \/ w C_ z ) )
8180ralrimivva 2971 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> A. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } A. w e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ( z C_ w \/ w C_ z ) )
82 sorpss 6942 . . . . . . . . . . . 12 |- ( [ C.] Or { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } <-> A. z e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } A. w e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ( z C_ w \/ w C_ z ) )
8381, 82sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> [ C.] Or { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } )
84 fin2i 9117 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinII /\ { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } C_ ~P A ) /\ ( { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } =/= (/) /\ [ C.] Or { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) ) -> U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } )
8544, 46, 56, 83, 84syl22anc 1327 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } )
86 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } -> ( f " z ) = ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) )
8786eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } -> ( ( f " z ) e. x <-> ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) e. x ) )
889cbvrabv 3199 . . . . . . . . . . . 12 |- { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } = { z e. ~P A | ( f " z ) e. x }
8987, 88elrab2 3366 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } <-> ( U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } e. ~P A /\ ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) e. x ) )
9089simprbi 480 . . . . . . . . . 10 |- ( U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } e. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } -> ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) e. x )
9185, 90syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> ( f " U. { y e. ~P A | ( f " y ) e. x } ) e. x )
9243, 91eqeltrrd 2702 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ ( x C_ ~P B /\ ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) ) ) -> U. x e. x )
9392expr 643 . . . . . . 7 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ x C_ ~P B ) -> ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) )
942, 93sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) /\ x e. ~P ~P B ) -> ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) )
9594ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ A e. FinII ) -> A. x e. ~P ~P B ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) )
9695ex 450 . . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. FinII -> A. x e. ~P ~P B ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) ) )
9796exlimiv 1858 . . 3 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. FinII -> A. x e. ~P ~P B ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) ) )
981, 97sylbi 207 . 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinII -> A. x e. ~P ~P B ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) ) )
99 relen 7960 . . . 4 |- Rel ~~
10099brrelex2i 5159 . . 3 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
101 isfin2 9116 . . 3 |- ( B e. _V -> ( B e. FinII <-> A. x e. ~P ~P B ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) ) )
102100, 101syl 17 . 2 |- ( A ~~ B -> ( B e. FinII <-> A. x e. ~P ~P B ( ( x =/= (/) /\ [ C.] Or x ) -> U. x e. x ) ) )
10398, 102sylibrd 249 1 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinII -> B e. FinII ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   [ C.] crpss 6936   ~~ cen 7952  FinIIcfin2 9101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-rpss 6937  df-en 7956  df-fin2 9108
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