Theorem f13idfv 12800

Description: A one-to-one function with the domain { 0, 1 ,2 } in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f13idfv.a	|- A = ( 0 ... 2 )

Assertion

Ref	Expression
f13idfv	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` 1 ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` 2 ) /\ ( F ` 1 ) =/= ( F ` 2 ) ) ) )

Proof of Theorem f13idfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		1z 11407	. . 3 |- 1 e. ZZ
3		2z 11409	. . 3 |- 2 e. ZZ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
5		0ne1 11088	. . 3 |- 0 =/= 1
6		0ne2 11239	. . 3 |- 0 =/= 2
7		1ne2 11240	. . 3 |- 1 =/= 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 )
9		f13idfv.a	. . . 4 |- A = ( 0 ... 2 )
10		fz0tp 12440	. . . 4 |- ( 0 ... 2 ) = { 0 , 1 , 2 }
11	9, 10	eqtri 2644	. . 3 |- A = { 0 , 1 , 2 }
12	11	f13dfv 6530	. 2 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 0 =/= 1 /\ 0 =/= 2 /\ 1 =/= 2 ) ) -> ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` 1 ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` 2 ) /\ ( F ` 1 ) =/= ( F ` 2 ) ) ) ) )
13	4, 8, 12	mp2an 708	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` 1 ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` 2 ) /\ ( F ` 1 ) =/= ( F ` 2 ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {ctp 4181   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)