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Theorem f1omvdconj 17866
Description: Conjugation of a permutation takes the image of the moved subclass. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdconj |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
Proof of Theorem f1omvdconj
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3737 . . . . . 6 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ ( ( G o. F ) o. `' G )
2 dmss 5323 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ ( ( G o. F ) o. `' G ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ dom ( ( G o. F ) o. `' G ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 |- dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ dom ( ( G o. F ) o. `' G )
4 dmcoss 5385 . . . . 5 |- dom ( ( G o. F ) o. `' G ) C_ dom `' G
53, 4sstri 3612 . . . 4 |- dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ dom `' G
6 f1ocnv 6149 . . . . . 6 |- ( G : A -1-1-onto-> A -> `' G : A -1-1-onto-> A )
76adantl 482 . . . . 5 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> `' G : A -1-1-onto-> A )
8 f1odm 6141 . . . . 5 |- ( `' G : A -1-1-onto-> A -> dom `' G = A )
97, 8syl 17 . . . 4 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom `' G = A )
105, 9syl5sseq 3653 . . 3 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) C_ A )
1110sselda 3603 . 2 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ) -> x e. A )
12 imassrn 5477 . . . 4 |- ( G " dom ( F \ _I ) ) C_ ran G
13 f1of 6137 . . . . . 6 |- ( G : A -1-1-onto-> A -> G : A --> A )
1413adantl 482 . . . . 5 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> G : A --> A )
15 frn 6053 . . . . 5 |- ( G : A --> A -> ran G C_ A )
1614, 15syl 17 . . . 4 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ran G C_ A )
1712, 16syl5ss 3614 . . 3 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) C_ A )
1817sselda 3603 . 2 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) -> x e. A )
19 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> F : A --> A )
20 fco 6058 . . . . . . 7 |- ( ( G : A --> A /\ F : A --> A ) -> ( G o. F ) : A --> A )
2114, 19, 20syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( G o. F ) : A --> A )
22 f1of 6137 . . . . . . 7 |- ( `' G : A -1-1-onto-> A -> `' G : A --> A )
237, 22syl 17 . . . . . 6 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> `' G : A --> A )
24 fco 6058 . . . . . 6 |- ( ( ( G o. F ) : A --> A /\ `' G : A --> A ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : A --> A )
2521, 23, 24syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : A --> A )
26 ffn 6045 . . . . 5 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) : A --> A -> ( ( G o. F ) o. `' G ) Fn A )
2725, 26syl 17 . . . 4 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) Fn A )
28 fnelnfp 6443 . . . 4 |- ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) Fn A /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) <-> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) =/= x ) )
2927, 28sylan 488 . . 3 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) <-> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) =/= x ) )
30 f1ofn 6138 . . . . . . . . 9 |- ( `' G : A -1-1-onto-> A -> `' G Fn A )
317, 30syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> `' G Fn A )
32 fvco2 6273 . . . . . . . 8 |- ( ( `' G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) )
3331, 32sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) )
34 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( F : A --> A -> F Fn A )
3534ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> F Fn A )
36 ffvelrn 6357 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' G : A --> A /\ x e. A ) -> ( `' G ` x ) e. A )
3723, 36sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` x ) e. A )
38 fvco2 6273 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ ( `' G ` x ) e. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
3935, 37, 38syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( `' G ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
4033, 39eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
4140eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = x <-> ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) = x ) )
42 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> G : A -1-1-onto-> A )
43 simpll 790 . . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> F : A --> A )
44 ffvelrn 6357 . . . . . . 7 |- ( ( F : A --> A /\ ( `' G ` x ) e. A ) -> ( F ` ( `' G ` x ) ) e. A )
4543, 37, 44syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( F ` ( `' G ` x ) ) e. A )
46 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> x e. A )
47 f1ocnvfvb 6535 . . . . . 6 |- ( ( G : A -1-1-onto-> A /\ ( F ` ( `' G ` x ) ) e. A /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) = x <-> ( `' G ` x ) = ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
4842, 45, 46, 47syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( F ` ( `' G ` x ) ) ) = x <-> ( `' G ` x ) = ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
4941, 48bitrd 268 . . . 4 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) = x <-> ( `' G ` x ) = ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
5049necon3bid 2838 . . 3 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) o. `' G ) ` x ) =/= x <-> ( `' G ` x ) =/= ( F ` ( `' G ` x ) ) ) )
51 necom 2847 . . . 4 |- ( ( `' G ` x ) =/= ( F ` ( `' G ` x ) ) <-> ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) )
52 f1of1 6136 . . . . . . 7 |- ( G : A -1-1-onto-> A -> G : A -1-1-> A )
5352ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> G : A -1-1-> A )
54 difss 3737 . . . . . . . . 9 |- ( F \ _I ) C_ F
55 dmss 5323 . . . . . . . . 9 |- ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- dom ( F \ _I ) C_ dom F
57 fdm 6051 . . . . . . . 8 |- ( F : A --> A -> dom F = A )
5856, 57syl5sseq 3653 . . . . . . 7 |- ( F : A --> A -> dom ( F \ _I ) C_ A )
5958ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> dom ( F \ _I ) C_ A )
60 f1elima 6520 . . . . . 6 |- ( ( G : A -1-1-> A /\ ( `' G ` x ) e. A /\ dom ( F \ _I ) C_ A ) -> ( ( G ` ( `' G ` x ) ) e. ( G " dom ( F \ _I ) ) <-> ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) ) )
6153, 37, 59, 60syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` x ) ) e. ( G " dom ( F \ _I ) ) <-> ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) ) )
62 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . 7 |- ( ( G : A -1-1-onto-> A /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` x ) ) = x )
6362adantll 750 . . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` x ) ) = x )
6463eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` x ) ) e. ( G " dom ( F \ _I ) ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
65 fnelnfp 6443 . . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ ( `' G ` x ) e. A ) -> ( ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) ) )
6635, 37, 65syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` x ) e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) ) )
6761, 64, 663bitr3rd 299 . . . 4 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` ( `' G ` x ) ) =/= ( `' G ` x ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
6851, 67syl5bb 272 . . 3 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` x ) =/= ( F ` ( `' G ` x ) ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
6929, 50, 683bitrd 294 . 2 |- ( ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) <-> x e. ( G " dom ( F \ _I ) ) ) )
7011, 18, 69eqrdav 2621 1 |- ( ( F : A --> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  17886  psgnunilem1  17913
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