Theorem f1otrspeq 17867

Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1otrspeq	|- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> F = G )

Proof of Theorem f1otrspeq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofn 6138	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> A -> F Fn A )
2	1	ad2antrr 762	. 2 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> F Fn A )
3		f1ofn 6138	. . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> A -> G Fn A )
4	3	ad2antlr 763	. 2 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> G Fn A )
5		1onn 7719	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> 1o e. om )
7		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) )
8		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
9		df-2o 7561	. . . . . . . . 9 |- 2o = suc 1o
10	8, 9	syl6breq 4694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> dom ( F \ _I ) ~~ suc 1o )
11	7, 10	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> dom ( G \ _I ) ~~ suc 1o )
12		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> x e. dom ( G \ _I ) )
13		dif1en 8193	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ dom ( G \ _I ) ~~ suc 1o /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o )
14	6, 11, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o )
15		euen1b 8027	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o <-> E! y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
16		eumo 2499	. . . . . . 7 |- ( E! y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) -> E* y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
17	15, 16	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ~~ 1o -> E* y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> E* y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
19		f1omvdmvd 17863	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ x e. dom ( F \ _I ) ) -> ( F ` x ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) )
20	19	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-onto-> A -> ( x e. dom ( F \ _I ) -> ( F ` x ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> ( x e. dom ( F \ _I ) -> ( F ` x ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
22		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) <-> x e. dom ( F \ _I ) ) )
23	22	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) <-> x e. dom ( F \ _I ) ) )
24		difeq1 3721	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) -> ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) = ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) )
25	24	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) -> ( ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) <-> ( F ` x ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
26	25	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> ( ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) <-> ( F ` x ) e. ( dom ( F \ _I ) \ { x } ) ) )
27	21, 23, 26	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) -> ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ) )
28	27	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
29		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> G : A -1-1-onto-> A )
30		f1omvdmvd 17863	. . . . . 6 |- ( ( G : A -1-1-onto-> A /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( G ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
31	29, 30	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( G ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) )
32		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
33		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( G ` x ) e. _V
34	32, 33	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. _V /\ ( G ` x ) e. _V )
35		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) <-> ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) <-> ( G ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ) )
37	35, 36	moi 3389	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` x ) e. _V /\ ( G ` x ) e. _V ) /\ E* y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) /\ ( ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) /\ ( G ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
38	34, 37	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( E* y y e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) /\ ( ( F ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) /\ ( G ` x ) e. ( dom ( G \ _I ) \ { x } ) ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
39	18, 28, 31, 38	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
40	39	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) /\ x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
41		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) <-> x e. dom ( F \ _I ) ) )
43		fnelnfp 6443	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` x ) =/= x ) )
44	2, 43	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( F \ _I ) <-> ( F ` x ) =/= x ) )
45	42, 44	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) <-> ( F ` x ) =/= x ) )
46	45	necon2bbid 2837	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = x <-> -. x e. dom ( G \ _I ) ) )
47	46	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) /\ -. x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( F ` x ) = x )
48		fnelnfp 6443	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) <-> ( G ` x ) =/= x ) )
49	4, 48	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. dom ( G \ _I ) <-> ( G ` x ) =/= x ) )
50	49	necon2bbid 2837	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = x <-> -. x e. dom ( G \ _I ) ) )
51	50	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) /\ -. x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( G ` x ) = x )
52	47, 51	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) /\ -. x e. dom ( G \ _I ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
53	40, 52	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
54	2, 4, 53	eqfnfvd 6314	1 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> A /\ G : A -1-1-onto-> A ) /\ ( dom ( F \ _I ) ~~ 2o /\ dom ( G \ _I ) = dom ( F \ _I ) ) ) -> F = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  pmtrfb  17885  psgnunilem1  17913