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Theorem psgnunilem1 17913

Description: Lemma for psgnuni 17919. Given two consequtive transpositions in a representation of a permutation, either they are equal and therefore equivalent to the identity, or they are not and it is possible to commute them such that a chosen point in the left transposition is preserved in the right. By repeating this process, a point can be removed from a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
psgnunilem1.t	pmTrsp
psgnunilem1.d
psgnunilem1.p
psgnunilem1.q
psgnunilem1.a	$\$

**Assertion**
Ref	Expression
psgnunilem1	$\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem psgnunilem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnunilem1.q	. . . . . . . 8
2		eqid 2622	. . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
3		psgnunilem1.t	. . . . . . . . 9 pmTrsp
4	2, 3	pmtrfinv 17881	. . . . . . . 8
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7
6		coeq1 5279	. . . . . . . 8
7	6	eqeq1d 2624	. . . . . . 7
8	5, 7	syl5ibrcom 237	. . . . . 6
9	8	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $\$
10	9	imp 445	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
11	10	orcd 407	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
12		psgnunilem1.p	. . . . . . . . . 10
13	2, 3	pmtrfcnv 17884	. . . . . . . . . 10
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9
15	14	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
16	15	coeq2d 5284	. . . . . . 7
17	2, 3	pmtrff1o 17883	. . . . . . . . 9
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . 8
19	2, 3	pmtrfconj 17886	. . . . . . . 8 $/\$
20	1, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . 7
21	16, 20	eqeltrd 2701	. . . . . 6
22	21	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
23	12	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
24		coass 5654	. . . . . . 7
25	2, 3	pmtrfinv 17881	. . . . . . . . . 10
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . 9
27	26	coeq2d 5284	. . . . . . . 8
28		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10
30	2, 3	pmtrff1o 17883	. . . . . . . . . . . 12
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11
32		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10
34		fco 6058	. . . . . . . . . 10 $/\$
35	29, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
36		fcoi1 6078	. . . . . . . . 9
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8
38	27, 37	eqtrd 2656	. . . . . . 7
39	24, 38	syl5req 2669	. . . . . 6
40	39	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
41		psgnunilem1.a	. . . . . 6 $\$
42	41	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ $\$
43	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$
44	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$
45	2, 3	pmtrfb 17885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
46	45	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . 12 $\$
47	12, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\$
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
49		2onn 7720	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		nnfi 8153	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
52	2, 3	pmtrfb 17885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
53	52	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
55		enfi 8176	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
57	51, 56	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
59	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
60		en2eleq 8831	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
61	59, 48, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
62		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
63		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	18, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$
66		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
67		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	66, 67	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
69	29, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
71		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
72		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
73	65, 70, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
74		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
75		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $\$
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
77		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78	18, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79	76, 78	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
80	79, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
82	2, 3, 81	pmtrffv 17879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $\$ $\$
83	12, 80, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$
84	41	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
85	83, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
87		imaco 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
88	26	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
89		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
90		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
92		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
93	91, 92	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
94	31, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
95		resiima 5480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$ $\$
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
97	88, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
98	87, 97	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
100	73, 86, 99	3eltr3d 2715	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
101		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
102	62, 100, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
103	61, 102	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
104	54	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
105		entr 8008	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
106	47, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
108		fisseneq 8171	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
109	58, 103, 107, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
110	109	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
111		f1otrspeq 17867	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
112	43, 44, 48, 110, 111	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ $\$
113	112	expr 643	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
114	113	necon3ad 2807	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$
115	114	imp 445	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$ $\$
116	16	difeq1d 3727	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
117	116	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
118		f1omvdconj 17866	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$
119	33, 18, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
120	117, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $\$ $\$
121	120	eleq2d 2687	. . . . . . 7 $\$ $\$
122	121	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
123	115, 122	mtbird 315	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ $\$
124		coeq1 5279	. . . . . . . 8
125	124	eqeq2d 2632	. . . . . . 7
126		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
127	126	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
128	127	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 $\$ $\$
129	128	notbid 308	. . . . . . 7 $\$ $\$
130	125, 129	3anbi13d 1401	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
131		coeq2 5280	. . . . . . . 8
132	131	eqeq2d 2632	. . . . . . 7
133		difeq1 3721	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
134	133	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 $\$ $\$
135	134	eleq2d 2687	. . . . . . 7 $\$ $\$
136	132, 135	3anbi12d 1400	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
137	130, 136	rspc2ev 3324	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
138	22, 23, 40, 42, 123, 137	syl113anc 1338	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
139	138	olcd 408	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
140	11, 139	pm2.61dane 2881	. 2 $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
141	1	adantr 481	. . . 4 $/\$ $\$
142		coass 5654	. . . . . . 7
143	2, 3	pmtrfcnv 17884	. . . . . . . . . 10
144	1, 143	syl 17	. . . . . . . . 9
145	144	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
146	145	coeq2d 5284	. . . . . . 7
147	142, 146	syl5eqr 2670	. . . . . 6
148	2, 3	pmtrfconj 17886	. . . . . . 7 $/\$
149	12, 31, 148	syl2anc 693	. . . . . 6
150	147, 149	eqeltrd 2701	. . . . 5
151	150	adantr 481	. . . 4 $/\$ $\$
152	5	coeq1d 5283	. . . . . . 7
153		fcoi2 6079	. . . . . . . 8
154	35, 153	syl 17	. . . . . . 7
155	152, 154	eqtr2d 2657	. . . . . 6
156		coass 5654	. . . . . 6
157	155, 156	syl6eq 2672	. . . . 5
158	157	adantr 481	. . . 4 $/\$ $\$
159		f1ofn 6138	. . . . . . . . . 10
160	31, 159	syl 17	. . . . . . . . 9
161		fnelnfp 6443	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
162	160, 80, 161	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $\$
163	162	necon2bbid 2837	. . . . . . 7 $\$
164	163	biimpar 502	. . . . . 6 $/\$ $\$
165		fnfvima 6496	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
166	160, 79, 41, 165	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $\$
167	166	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $\$ $\$
168	164, 167	eqeltrrd 2702	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$
169	147	difeq1d 3727	. . . . . . . 8 $\$ $\$
170	169	dmeqd 5326	. . . . . . 7 $\$ $\$
171		f1omvdconj 17866	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
172	29, 31, 171	syl2anc 693	. . . . . . 7 $\$ $\$
173	170, 172	eqtrd 2656	. . . . . 6 $\$ $\$
174	173	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$ $\$
175	168, 174	eleqtrrd 2704	. . . 4 $/\$ $\$ $\$
176		simpr 477	. . . 4 $/\$ $\$ $\$
177		coeq1 5279	. . . . . . 7
178	177	eqeq2d 2632	. . . . . 6
179		difeq1 3721	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
180	179	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 $\$ $\$
181	180	eleq2d 2687	. . . . . . 7 $\$ $\$
182	181	notbid 308	. . . . . 6 $\$ $\$
183	178, 182	3anbi13d 1401	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
184		coeq2 5280	. . . . . . 7
185	184	eqeq2d 2632	. . . . . 6
186		difeq1 3721	. . . . . . . 8 $\$ $\$
187	186	dmeqd 5326	. . . . . . 7 $\$ $\$
188	187	eleq2d 2687	. . . . . 6 $\$ $\$
189	185, 188	3anbi12d 1400	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
190	183, 189	rspc2ev 3324	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
191	141, 151, 158, 175, 176, 190	syl113anc 1338	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
192	191	olcd 408	. 2 $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
193	140, 192	pm2.61dan 832	1 $\/$ $/\$ $\$ $/\$ $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

cif 4086

csn 4177

cpr 4179

cuni 4436 class class class wbr 4653

cid 5023

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

wfn 5883

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888

com 7065

c2o 7554

cen 7952

cfn 7955 pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-om 7066 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-pmtr 17862

This theorem is referenced by: psgnunilem2 17915

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