Theorem pmtrfconj 17886

Description: Any conjugate of a transposition is a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	|- T = (pmTrsp ` D )
pmtrrn.r	|- R = ran T

Assertion

Ref	Expression
pmtrfconj	|- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Proof of Theorem pmtrfconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2		pmtrrn.r	. . . . 5 |- R = ran T
3	1, 2	pmtrfb 17885	. . . 4 |- ( F e. R <-> ( D e. _V /\ F : D -1-1-onto-> D /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) )
4	3	simp1bi 1076	. . 3 |- ( F e. R -> D e. _V )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
6		simpr 477	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-onto-> D )
7	1, 2	pmtrff1o 17883	. . . . 5 |- ( F e. R -> F : D -1-1-onto-> D )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D -1-1-onto-> D )
9		f1oco 6159	. . . 4 |- ( ( G : D -1-1-onto-> D /\ F : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D )
11		f1ocnv 6149	. . . 4 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> D )
12	11	adantl 482	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> `' G : D -1-1-onto-> D )
13		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( ( G o. F ) : D -1-1-onto-> D /\ `' G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
14	10, 12, 13	syl2anc 693	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D )
15		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( F : D -1-1-onto-> D -> F : D --> D )
16	7, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. R -> F : D --> D )
17	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> F : D --> D )
18		f1omvdconj 17866	. . . . 5 |- ( ( F : D --> D /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
19	17, 6, 18	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) = ( G " dom ( F \ _I ) ) )
20		f1of1 6136	. . . . . 6 |- ( G : D -1-1-onto-> D -> G : D -1-1-> D )
21	20	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> G : D -1-1-> D )
22		difss 3737	. . . . . . . 8 |- ( F \ _I ) C_ F
23		dmss 5323	. . . . . . . 8 |- ( ( F \ _I ) C_ F -> dom ( F \ _I ) C_ dom F )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( F \ _I ) C_ dom F
25		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( F : D --> D -> dom F = D )
26	24, 25	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( F : D --> D -> dom ( F \ _I ) C_ D )
27	17, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) C_ D )
28	5, 27	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) e. _V )
29		f1imaeng 8016	. . . . 5 |- ( ( G : D -1-1-> D /\ dom ( F \ _I ) C_ D /\ dom ( F \ _I ) e. _V ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
30	21, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( G " dom ( F \ _I ) ) ~~ dom ( F \ _I ) )
31	19, 30	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) )
32	3	simp3bi 1078	. . . 4 |- ( F e. R -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
33	32	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( F \ _I ) ~~ 2o )
34		entr 8008	. . 3 |- ( ( dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ dom ( F \ _I ) /\ dom ( F \ _I ) ~~ 2o ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
35	31, 33, 34	syl2anc 693	. 2 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o )
36	1, 2	pmtrfb 17885	. 2 |- ( ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R <-> ( D e. _V /\ ( ( G o. F ) o. `' G ) : D -1-1-onto-> D /\ dom ( ( ( G o. F ) o. `' G ) \ _I ) ~~ 2o ) )
37	5, 14, 35, 36	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( F e. R /\ G : D -1-1-onto-> D ) -> ( ( G o. F ) o. `' G ) e. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  psgnunilem1  17913