Theorem pssnn 8178

Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pssnn	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem pssnn

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 3702	. . . 4 |- ( B C. A -> B C_ A )
2		ssexg 4804	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A e. om ) -> B e. _V )
3	1, 2	sylan 488	. . 3 |- ( ( B C. A /\ A e. om ) -> B e. _V )
4	3	ancoms 469	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B e. _V )
5		psseq2 3695	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( w C. z <-> w C. (/) ) )
6		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. (/) w ~~ x ) )
7	5, 6	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = (/) -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
8	7	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x ) ) )
9		psseq2 3695	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( w C. z <-> w C. y ) )
10		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. y w ~~ x ) )
11	9, 10	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
12	11	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) )
13		psseq2 3695	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( w C. z <-> w C. suc y ) )
14		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( z = suc y -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. suc y w ~~ x ) )
15	13, 14	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = suc y -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
16	15	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
17		psseq2 3695	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( w C. z <-> w C. A ) )
18		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( E. x e. z w ~~ x <-> E. x e. A w ~~ x ) )
19	17, 18	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
20	19	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. w ( w C. z -> E. x e. z w ~~ x ) <-> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) ) )
21		npss0 4014	. . . . . . . 8 |- -. w C. (/)
22	21	pm2.21i 116	. . . . . . 7 |- ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
23	22	ax-gen 1722	. . . . . 6 |- A. w ( w C. (/) -> E. x e. (/) w ~~ x )
24		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ w y e. om
25		nfa1 2028	. . . . . . 7 |- F/ w A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x )
26		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( z e. w <-> y e. w ) )
27	26	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. w -> ( z = y -> y e. w ) )
28	27	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. w -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> -. z = y ) )
30		pssss 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w C. suc y -> w C_ suc y )
31	30	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> z e. suc y ) )
32		elsuci 5791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. suc y -> ( z e. y \/ z = y ) )
33	32	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. suc y -> ( -. z e. y -> z = y ) )
34	33	con1d 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. suc y -> ( -. z = y -> z e. y ) )
35	31, 34	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w C. suc y -> ( z e. w -> ( -. z = y -> z e. y ) ) )
36	35	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. z = y -> z e. y ) )
37	29, 36	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w C. suc y /\ z e. w ) -> ( -. y e. w -> z e. y ) )
38	37	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> ( z e. w -> z e. y ) )
39	38	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) -> w C_ y )
40	39	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
41		dfpss2 3692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w C. y <-> ( w C_ y /\ -. w = y ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> w C. y )
43		elelsuc 5797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. y -> x e. suc y )
44	43	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ w ~~ x ) -> ( x e. suc y /\ w ~~ x ) )
45	44	reximi2 3010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. y w ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x )
46	42, 45	imim12i 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( ( w C. suc y /\ -. y e. w ) /\ -. w = y ) -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
47	46	exp4c 636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
48	47	sps 2055	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> ( -. y e. w -> ( -. w = y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
50	49	com4t 93	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. w -> ( -. w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) ) )
51		anidm 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) <-> w C. suc y )
52		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) )
53		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. om -> Ord y )
54		orddif 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> y = ( suc y \ { y } ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> y = ( suc y \ { y } ) )
56	55	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. om -> ( ( w \ { y } ) C_ y <-> ( w \ { y } ) C_ ( suc y \ { y } ) ) )
57	52, 56	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( w C_ suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
58	30, 57	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C_ y ) )
59		pssnel 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C. suc y -> E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) )
60		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. ( w \ { y } ) <-> z e. y ) )
61		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( w \ { y } ) -> z e. w )
62	60, 61	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) = y -> ( z e. y -> z e. w ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( z e. y -> z e. w ) )
64		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( z = y -> z e. w ) )
65	33, 64	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> ( -. z e. y -> z e. w ) )
67	63, 66	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. w /\ z e. suc y ) /\ ( w \ { y } ) = y ) -> z e. w )
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) = y -> z e. w ) )
69	68	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. w /\ z e. suc y ) -> ( -. z e. w -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
70	69	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
71	70	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. w -> ( E. z ( z e. suc y /\ -. z e. w ) -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
72	59, 71	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. w -> ( w C. suc y -> -. ( w \ { y } ) = y ) )
73	58, 72	im2anan9r 881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( w C. suc y /\ w C. suc y ) -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
74	51, 73	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) ) )
75		dfpss2 3692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w \ { y } ) C. y <-> ( ( w \ { y } ) C_ y /\ -. ( w \ { y } ) = y ) )
76	74, 75	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( w C. suc y -> ( w \ { y } ) C. y ) )
77		psseq1 3694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( w C. y <-> z C. y ) )
78		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w ~~ x <-> z ~~ x ) )
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = z -> ( E. x e. y w ~~ x <-> E. x e. y z ~~ x ) )
80	77, 79	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = z -> ( ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) ) )
81	80	cbvalv 2273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) <-> A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) )
82		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
83		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w \ { y } ) C_ w
84	82, 83	ssexi 4803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w \ { y } ) e. _V
85		psseq1 3694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z C. y <-> ( w \ { y } ) C. y ) )
86		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( z ~~ x <-> ( w \ { y } ) ~~ x ) )
87	86	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( E. x e. y z ~~ x <-> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
88	85, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( w \ { y } ) -> ( ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) <-> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) ) )
89	84, 88	spcv 3299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z ( z C. y -> E. x e. y z ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
90	81, 89	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( ( w \ { y } ) C. y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
91	76, 90	sylan9 689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x ) )
92		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Ord y -> ( x e. y <-> suc x e. suc y ) )
93	92	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
94	53, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. om -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( x e. y -> suc x e. suc y ) )
96	95	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> suc x e. suc y ) )
97		elnn 7075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
98		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } e. _V
99		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
100		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- x e. _V
101	99, 100	f1osn 6176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x }
102		f1oen3g 7971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { <. y , x >. } e. _V /\ { <. y , x >. } : { y } -1-1-onto-> { x } ) -> { y } ~~ { x } )
103	98, 101, 102	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { y } ~~ { x }
104	103	jctr 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) )
105		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. om -> Ord x )
106		orddisj 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Ord x -> ( x i^i { x } ) = (/) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. om -> ( x i^i { x } ) = (/) )
108		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = ( ( w \ { y } ) i^i { y } )
109		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { y } i^i ( w \ { y } ) ) = (/)
110	108, 109	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/)
111	107, 110	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. om -> ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) )
112		unen 8040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ { y } ~~ { x } ) /\ ( ( ( w \ { y } ) i^i { y } ) = (/) /\ ( x i^i { x } ) = (/) ) ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
113	104, 111, 112	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) )
114		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) = w )
115	114	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> w = ( ( w \ { y } ) u. { y } ) )
116		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- suc x = ( x u. { x } )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. w -> suc x = ( x u. { x } ) )
118	115, 117	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. w -> ( w ~~ suc x <-> ( ( w \ { y } ) u. { y } ) ~~ ( x u. { x } ) ) )
119	113, 118	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ x e. om ) -> w ~~ suc x ) )
120	97, 119	sylan2i 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. w -> ( ( ( w \ { y } ) ~~ x /\ ( x e. y /\ y e. om ) ) -> w ~~ suc x ) )
121	120	exp4d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. w -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> ( x e. y -> ( y e. om -> w ~~ suc x ) ) ) )
122	121	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. w -> ( y e. om -> ( x e. y -> ( ( w \ { y } ) ~~ x -> w ~~ suc x ) ) ) )
123	122	imp4b 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> w ~~ suc x ) )
124	96, 123	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) ) )
125		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( w ~~ z <-> w ~~ suc x ) )
126	125	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc x e. suc y /\ w ~~ suc x ) -> E. z e. suc y w ~~ z )
127	124, 126	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
128	127	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) -> E. z e. suc y w ~~ z ) )
129		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x <-> E. x ( x e. y /\ ( w \ { y } ) ~~ x ) )
130		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( w ~~ x <-> w ~~ z ) )
131	130	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. suc y w ~~ x <-> E. z e. suc y w ~~ z )
132	128, 129, 131	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. w /\ y e. om ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( E. x e. y ( w \ { y } ) ~~ x -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
134	91, 133	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. w /\ y e. om ) /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
135	134	expl 648	. . . . . . . . 9 |- ( y e. w -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
136	82	eqelsuc 5806	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> w e. suc y )
137	82	enref 7988	. . . . . . . . . . 11 |- w ~~ w
138		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( w ~~ x <-> w ~~ w ) )
139	138	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. suc y /\ w ~~ w ) -> E. x e. suc y w ~~ x )
140	136, 137, 139	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> E. x e. suc y w ~~ x )
141	140	2a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
142	50, 135, 141	pm2.61ii 177	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) )
143	142	ex 450	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
144	24, 25, 143	alrimd 2084	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A. w ( w C. y -> E. x e. y w ~~ x ) -> A. w ( w C. suc y -> E. x e. suc y w ~~ x ) ) )
145	8, 12, 16, 20, 23, 144	finds 7092	. . . . 5 |- ( A e. om -> A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) )
146		psseq1 3694	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( w C. A <-> B C. A ) )
147		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> ( w ~~ x <-> B ~~ x ) )
148	147	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( E. x e. A w ~~ x <-> E. x e. A B ~~ x ) )
149	146, 148	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) <-> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
150	149	spcgv 3293	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( A. w ( w C. A -> E. x e. A w ~~ x ) -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
151	145, 150	syl5 34	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A e. om -> ( B C. A -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
152	151	com3l 89	. . 3 |- ( A e. om -> ( B C. A -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) ) )
153	152	imp 445	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( B e. _V -> E. x e. A B ~~ x ) )
154	4, 153	mpd 15	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   Ord word 5722   suc csuc 5725   -1-1-onto->wf1o 5887   omcom 7065   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-en 7956

This theorem is referenced by:  ssnnfi  8179