poimirlem3 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem3 33412

Description: Lemma for poimir 33442 to add an interior point to an admissible face on the back face of the cube. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem4.1
poimirlem4.2
poimirlem4.3
poimirlem3.4	..^
poimirlem3.5

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem3	..^ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem poimirlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimirlem3.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
2		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
5		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
6		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
8		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
9		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	7, 10	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
12		poimirlem3.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
14	13	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	12, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18	17	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19	18	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	21	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	22, 23	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	16, 24	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
26		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
27	11, 25, 26	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
31	29, 30	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32	17, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	36	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	12, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	37, 40	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
42	28, 41	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
43	42	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
44	27, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
45		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
46		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . 13
47		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
48		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
49	4, 44, 45, 45, 46, 47, 48	offval 6904	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50		poimirlem4.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53	52	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57		poimirlem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58	50	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59		poimir.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	59	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
62		peano2z 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
64	62, 63	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
65	61, 64	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
66	58, 60, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67	57, 66	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
68		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	56, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
70		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71	53, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
72	71	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	69, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	73	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . 14
75		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	76, 8	xpsn 6407	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	77	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	75, 78	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
80	74, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	49, 81	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83		unass 3770	. . . . . . . . . . 11
84	82, 83	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 $/\$
85	50	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
86	85	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	52	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88	85, 87	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89	86, 88	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
91	89, 90	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93	91, 92	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
94		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	76, 8	fsn 6402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96	94, 95	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97		fun 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ $/\$ ..^
98	96, 97	mpanl2 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ ..^
99	1, 93, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
100		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103	102	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104	101, 103	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50, 104	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106		fzsuc2 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
107	100, 105, 106	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108	107	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
109		poimirlem4.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
111	109, 110	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
112	111	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
113		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ ..^
114	112, 113	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
115	108, 114	feq23d 6040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
116	99, 115	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
117		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
121	5, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
123	8, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
124	121, 123	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
125	76, 76	f1osn 6176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126		f1oun 6156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 126	mpanl2 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
128	12, 93, 93, 127	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
129		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
130	129	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
132	128, 130, 131	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16
133		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	19, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	135, 136	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
138	132, 137	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
139		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
140	124, 138, 139	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
141		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	128, 141, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	107	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145	143, 144, 107	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
146		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	33, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
149	32, 147, 148	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150	149	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
151	145, 150	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
152		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . 16
153	151, 152	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
154	153	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
155	140, 154	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
156		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
157		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . 13
158		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
159		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
160	119, 155, 156, 156, 157, 158, 159	offval 6904	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
161		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
162	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
163	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
164		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165	76	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
166	76, 8	fnsn 5946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
167		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
168	166, 167	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
169	165, 168	mpanr2 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
170	3, 93, 169	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171	76, 8	fvsn 6446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
172	170, 171	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
173	164, 172	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
174	173	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
175		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
176		imadmrn 5476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
177	76, 76	xpsn 6407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
178	177	imaeq1i 5463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
179		dmxpid 5345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
180	179	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
181	178, 180	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
182		rnxpid 5567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
183	176, 181, 182	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
184		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
185		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
186	33, 184, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
187	186	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
188		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
190	183, 189	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
191		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
192	190, 165, 191	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
193		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
195		imaundir 5546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196	194, 195	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197	196	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
198		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	121, 123, 198	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
200	138, 197, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
201	8	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202	196, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203	202	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
204	200, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
205	175, 204	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
206	174, 205	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
207		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . 14
208	206, 207	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
209	161, 162, 163, 208	fmptapd 6437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
210	3, 93	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
211		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
212	166, 211	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
213	212	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
214	210, 213	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
215	214	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
216		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
217	216	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16
218		resundir 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
219		relxp 5227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
220		dmxpss 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
221		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
222	220, 221	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
223		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
224		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
225	12, 223, 224	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
226	222, 225	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
227		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
228	219, 226, 227	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
229	228	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
230		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
231	76	rnsnop 5616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
232	230, 231	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
233		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
234	232, 233	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
235		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
236	235, 93	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
237	234, 236	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
238		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
239	237, 238	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
240		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
241		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
242	5, 240, 241	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
243	239, 242	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
244	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
245	229, 244	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
246		imaundir 5546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
247	246	xpeq1i 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
248		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
249	247, 248	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
250	249	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
251		resundir 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
252	250, 251	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
253		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
254	245, 252, 253	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
255		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
256	12, 255	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
257	256	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
258	257	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
259		f1orel 6140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
260		resindm 5444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
261	12, 259, 260	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
262	258, 261	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
263	35	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
264		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
265		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
266	264, 265	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
267	266	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
268		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
269	268, 134	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
270	267, 269	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
271		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
272		indi 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
273	271, 272	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
274		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
275	270, 273, 274	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
276	263, 275	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
277	276	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
278	262, 277	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
279	278	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
280		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
281		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
282	279, 280, 281	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
283	282	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
284	283	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
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288	286, 287	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
289	288, 225	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
290		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
291	285, 289, 290	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
293	284, 292	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
294		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
295	294, 231	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
296		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
297	295, 296	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
298	297, 236	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
299		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
300	298, 299	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
301		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
302		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
303	8, 301, 302	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
304	300, 303	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
305	304	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
306	293, 305	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
307	195	xpeq1i 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
308		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
309	307, 308	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
310	309	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
311		resundir 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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313		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
314	306, 312, 313	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
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316	218, 315	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
317	316	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
318	217, 317	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
319	215, 318	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
320	319	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
321	320	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
322	160, 209, 321	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 $/\$
323	322	uneq1d 3766	. . . . . . . . . 10 $/\$
324	84, 323	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$
325	324	csbeq1d 3540	. . . . . . . 8 $/\$
326	325	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 $/\$
327	326	rexbidva 3049	. . . . . 6
328	327	ralbidv 2986	. . . . 5
329	328	biimpd 219	. . . 4
330		f1ofn 6138	. . . . . . . 8
331	12, 330	syl 17	. . . . . . 7
332	76, 76	fnsn 5946	. . . . . . . . 9
333		fvun2 6270	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
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335	165, 334	mpanr2 720	. . . . . . 7 $/\$
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341		3anass 1042	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
342	340, 341	syl6ibr 242	. 2 $/\$ $/\$
343	1, 96	jctir 561	. . . . . 6 ..^ $/\$
344	343, 93, 97	syl2anc 693	. . . . 5 ..^
345	344, 115	mpbid 222	. . . 4 ..^
346		ovex 6678	. . . . 5 ..^
347		ovex 6678	. . . . 5
348	346, 347	elmap 7886	. . . 4 ..^ ..^
349	345, 348	sylibr 224	. . 3 ..^
350		ovex 6678	. . . . . . . 8
351		f1oexrnex 7115	. . . . . . . 8 $/\$
352	12, 350, 351	sylancl 694	. . . . . . 7
353		snex 4908	. . . . . . 7
354		unexg 6959	. . . . . . 7 $/\$
355	352, 353, 354	sylancl 694	. . . . . 6
356		f1oeq1 6127	. . . . . . 7
357	356	elabg 3351	. . . . . 6
358	355, 357	syl 17	. . . . 5
359		f1oeq23 6130	. . . . . 6 $/\$
360	107, 107, 359	syl2anc 693	. . . . 5
361	358, 360	bitrd 268	. . . 4
362	128, 361	mpbird 247	. . 3
363		opelxpi 5148	. . 3 ..^ $/\$ ..^
364	349, 362, 363	syl2anc 693	. 2 ..^
365	342, 364	jctild 566	1 ..^ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wral 2912

wrex 2913

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csb 3533

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cop 4183 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

wrel 5119

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cmap 7857

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem4 33413

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