Theorem 0ram 15724

Description: The Ramsey number when M = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ram	|- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( 0 Ramsey F ) = sup ( ran F , RR , < ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, F, y   x, V

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem 0ram

Dummy variables b d z f c s a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
2		0nn0 11307	. . . 4 |- 0 e. NN0
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> 0 e. NN0 )
4		simpl1 1064	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> R e. V )
5		simpl3 1066	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> F : R --> NN0 )
6		frn 6053	. . . . 5 |- ( F : R --> NN0 -> ran F C_ NN0 )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ran F C_ NN0 )
8		nn0ssz 11398	. . . . . 6 |- NN0 C_ ZZ
9	7, 8	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ran F C_ ZZ )
10		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( F : R --> NN0 -> dom F = R )
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> dom F = R )
12		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> R =/= (/) )
13	11, 12	eqnetrd 2861	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> dom F =/= (/) )
14		dm0rn0 5342	. . . . . . 7 |- ( dom F = (/) <-> ran F = (/) )
15	14	necon3bii 2846	. . . . . 6 |- ( dom F =/= (/) <-> ran F =/= (/) )
16	13, 15	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ran F =/= (/) )
17		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x )
18		suprzcl2 11778	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ ZZ /\ ran F =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. ran F )
19	9, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. ran F )
20	7, 19	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. NN0 )
21		vex 3203	. . . . . . 7 |- s e. _V
22	1	hashbc0 15709	. . . . . . 7 |- ( s e. _V -> ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) = { (/) } )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) = { (/) }
24	23	feq2i 6037	. . . . 5 |- ( f : ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) --> R <-> f : { (/) } --> R )
25	24	biimpi 206	. . . 4 |- ( f : ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) --> R -> f : { (/) } --> R )
26		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> f : { (/) } --> R )
27		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
28	27	snid 4208	. . . . . 6 |- (/) e. { (/) }
29		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( f : { (/) } --> R /\ (/) e. { (/) } ) -> ( f ` (/) ) e. R )
30	26, 28, 29	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( f ` (/) ) e. R )
31	21	pwid 4174	. . . . . 6 |- s e. ~P s
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> s e. ~P s )
33	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> F : R --> NN0 )
34	33, 30	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) e. NN0 )
35	34	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) e. RR )
36	35	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) e. RR* )
37	20	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. RR )
38	37	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. RR* )
39	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. RR* )
40		hashxrcl 13148	. . . . . . 7 |- ( s e. _V -> ( # ` s ) e. RR* )
41	21, 40	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( # ` s ) e. RR* )
42	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ran F C_ ZZ )
43	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x )
44		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : R --> NN0 -> F Fn R )
45	33, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> F Fn R )
46		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn R /\ ( f ` (/) ) e. R ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) e. ran F )
47	45, 30, 46	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) e. ran F )
48		suprzub 11779	. . . . . . 7 |- ( ( ran F C_ ZZ /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x /\ ( F ` ( f ` (/) ) ) e. ran F ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ sup ( ran F , RR , < ) )
49	42, 43, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ sup ( ran F , RR , < ) )
50		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) )
51	36, 39, 41, 49, 50	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` s ) )
52	28	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> (/) e. { (/) } )
53		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( f ` (/) ) e. _V
54	53	snid 4208	. . . . . . 7 |- ( f ` (/) ) e. { ( f ` (/) ) }
55	54	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( f ` (/) ) e. { ( f ` (/) ) } )
56		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( f : { (/) } --> R -> f Fn { (/) } )
57		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( f Fn { (/) } -> ( (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) <-> ( (/) e. { (/) } /\ ( f ` (/) ) e. { ( f ` (/) ) } ) ) )
58	26, 56, 57	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> ( (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) <-> ( (/) e. { (/) } /\ ( f ` (/) ) e. { ( f ` (/) ) } ) ) )
59	52, 55, 58	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( c = ( f ` (/) ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( f ` (/) ) ) )
61	60	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( c = ( f ` (/) ) -> ( ( F ` c ) <_ ( # ` z ) <-> ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` z ) ) )
62		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
63	1	hashbc0 15709	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) = { (/) } )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) = { (/) }
65	64	sseq1i 3629	. . . . . . . . 9 |- ( ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) <-> { (/) } C_ ( `' f " { c } ) )
66	27	snss 4316	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. ( `' f " { c } ) <-> { (/) } C_ ( `' f " { c } ) )
67	65, 66	bitr4i 267	. . . . . . . 8 |- ( ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) <-> (/) e. ( `' f " { c } ) )
68		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( f ` (/) ) -> { c } = { ( f ` (/) ) } )
69	68	imaeq2d 5466	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( f ` (/) ) -> ( `' f " { c } ) = ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) )
70	69	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( c = ( f ` (/) ) -> ( (/) e. ( `' f " { c } ) <-> (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) ) )
71	67, 70	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( c = ( f ` (/) ) -> ( ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) <-> (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) ) )
72	61, 71	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = ( f ` (/) ) -> ( ( ( F ` c ) <_ ( # ` z ) /\ ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) ) <-> ( ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` z ) /\ (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) ) ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( # ` z ) = ( # ` s ) )
74	73	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` z ) <-> ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` s ) ) )
75	74	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( z = s -> ( ( ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` z ) /\ (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) ) <-> ( ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` s ) /\ (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) ) ) )
76	72, 75	rspc2ev 3324	. . . . 5 |- ( ( ( f ` (/) ) e. R /\ s e. ~P s /\ ( ( F ` ( f ` (/) ) ) <_ ( # ` s ) /\ (/) e. ( `' f " { ( f ` (/) ) } ) ) ) -> E. c e. R E. z e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` z ) /\ ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
77	30, 32, 51, 59, 76	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : { (/) } --> R ) ) -> E. c e. R E. z e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` z ) /\ ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
78	25, 77	sylanr2 685	. . 3 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) <_ ( # ` s ) /\ f : ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) --> R ) ) -> E. c e. R E. z e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` z ) /\ ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
79	1, 3, 4, 5, 20, 78	ramub 15717	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( 0 Ramsey F ) <_ sup ( ran F , RR , < ) )
80		fvelrnb 6243	. . . . 5 |- ( F Fn R -> ( sup ( ran F , RR , < ) e. ran F <-> E. c e. R ( F ` c ) = sup ( ran F , RR , < ) ) )
81	5, 44, 80	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( sup ( ran F , RR , < ) e. ran F <-> E. c e. R ( F ` c ) = sup ( ran F , RR , < ) ) )
82	19, 81	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> E. c e. R ( F ` c ) = sup ( ran F , RR , < ) )
83	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> 0 e. NN0 )
84		simpll1 1100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> R e. V )
85		simpll3 1102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> F : R --> NN0 )
86		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` c ) e. NN -> ( ( F ` c ) - 1 ) e. NN0 )
87	86	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> ( ( F ` c ) - 1 ) e. NN0 )
88		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
89	27, 88	f1osn 6176	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. (/) , c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }
90		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { <. (/) , c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c } -> { <. (/) , c >. } : { (/) } --> { c } )
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- { <. (/) , c >. } : { (/) } --> { c }
92		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> c e. R )
93	92	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> { c } C_ R )
94		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { <. (/) , c >. } : { (/) } --> { c } /\ { c } C_ R ) -> { <. (/) , c >. } : { (/) } --> R )
95	91, 93, 94	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> { <. (/) , c >. } : { (/) } --> R )
96		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) e. _V
97	1	hashbc0 15709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) e. _V -> ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) = { (/) } )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) = { (/) }
99	98	feq2i 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. (/) , c >. } : ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) --> R <-> { <. (/) , c >. } : { (/) } --> R )
100	95, 99	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> { <. (/) , c >. } : ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) --> R )
101	64	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) <-> { (/) } C_ ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) )
102	27	snss 4316	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) <-> { (/) } C_ ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) )
103	101, 102	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) <-> (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) )
104		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) e. Fin )
105		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) )
106		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) e. Fin -> ( z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) -> z ~<_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) )
107	104, 105, 106	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> z ~<_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) )
108		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) e. Fin /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) -> z e. Fin )
109	104, 105, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> z e. Fin )
110		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. Fin /\ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` z ) <_ ( # ` ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) <-> z ~<_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) )
111	109, 104, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( # ` z ) <_ ( # ` ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) <-> z ~<_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) )
112	107, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( # ` z ) <_ ( # ` ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) )
113	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` c ) - 1 ) e. NN0 )
114		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` c ) - 1 ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) = ( ( F ` c ) - 1 ) )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) = ( ( F ` c ) - 1 ) )
116	112, 115	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( # ` z ) <_ ( ( F ` c ) - 1 ) )
117		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Fin -> ( # ` z ) e. NN0 )
118	109, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
119	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( F ` c ) e. NN0 )
120	119	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> ( F ` c ) e. NN0 )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( F ` c ) e. NN0 )
122		nn0ltlem1 11437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` z ) e. NN0 /\ ( F ` c ) e. NN0 ) -> ( ( # ` z ) < ( F ` c ) <-> ( # ` z ) <_ ( ( F ` c ) - 1 ) ) )
123	118, 121, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( # ` z ) < ( F ` c ) <-> ( # ` z ) <_ ( ( F ` c ) - 1 ) ) )
124	116, 123	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( # ` z ) < ( F ` c ) )
125	27, 88	fvsn 6446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. (/) , c >. } ` (/) ) = c
126		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { <. (/) , c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c } -> { <. (/) , c >. } Fn { (/) } )
127		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { <. (/) , c >. } Fn { (/) } -> ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) <-> ( (/) e. { (/) } /\ ( { <. (/) , c >. } ` (/) ) e. { d } ) ) )
128	89, 126, 127	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) <-> ( (/) e. { (/) } /\ ( { <. (/) , c >. } ` (/) ) e. { d } ) )
129	128	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> ( { <. (/) , c >. } ` (/) ) e. { d } )
130	125, 129	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> c e. { d } )
131		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. { d } -> c = d )
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> c = d )
133	132	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> ( F ` c ) = ( F ` d ) )
134	133	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> ( ( # ` z ) < ( F ` c ) <-> ( # ` z ) < ( F ` d ) ) )
135	124, 134	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( (/) e. ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> ( # ` z ) < ( F ` d ) ) )
136	103, 135	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) /\ ( d e. R /\ z C_ ( 1 ... ( ( F ` c ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( z ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) 0 ) C_ ( `' { <. (/) , c >. } " { d } ) -> ( # ` z ) < ( F ` d ) ) )
137	1, 83, 84, 85, 87, 100, 136	ramlb 15723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> ( ( F ` c ) - 1 ) < ( 0 Ramsey F ) )
138		ramubcl 15722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( sup ( ran F , RR , < ) e. NN0 /\ ( 0 Ramsey F ) <_ sup ( ran F , RR , < ) ) ) -> ( 0 Ramsey F ) e. NN0 )
139	3, 4, 5, 20, 79, 138	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( 0 Ramsey F ) e. NN0 )
140	139	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> ( 0 Ramsey F ) e. NN0 )
141		nn0lem1lt 11442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` c ) e. NN0 /\ ( 0 Ramsey F ) e. NN0 ) -> ( ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) <-> ( ( F ` c ) - 1 ) < ( 0 Ramsey F ) ) )
142	120, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> ( ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) <-> ( ( F ` c ) - 1 ) < ( 0 Ramsey F ) ) )
143	137, 142	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ ( c e. R /\ ( F ` c ) e. NN ) ) -> ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) )
144	143	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( ( F ` c ) e. NN -> ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) ) )
145	139	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( 0 Ramsey F ) e. NN0 )
146	145	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> 0 <_ ( 0 Ramsey F ) )
147		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( ( F ` c ) = 0 -> ( ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) <-> 0 <_ ( 0 Ramsey F ) ) )
148	146, 147	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( ( F ` c ) = 0 -> ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) ) )
149		elnn0 11294	. . . . . . 7 |- ( ( F ` c ) e. NN0 <-> ( ( F ` c ) e. NN \/ ( F ` c ) = 0 ) )
150	119, 149	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( ( F ` c ) e. NN \/ ( F ` c ) = 0 ) )
151	144, 148, 150	mpjaod 396	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) )
152		breq1 4656	. . . . 5 |- ( ( F ` c ) = sup ( ran F , RR , < ) -> ( ( F ` c ) <_ ( 0 Ramsey F ) <-> sup ( ran F , RR , < ) <_ ( 0 Ramsey F ) ) )
153	151, 152	syl5ibcom 235	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) /\ c e. R ) -> ( ( F ` c ) = sup ( ran F , RR , < ) -> sup ( ran F , RR , < ) <_ ( 0 Ramsey F ) ) )
154	153	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( E. c e. R ( F ` c ) = sup ( ran F , RR , < ) -> sup ( ran F , RR , < ) <_ ( 0 Ramsey F ) ) )
155	82, 154	mpd 15	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> sup ( ran F , RR , < ) <_ ( 0 Ramsey F ) )
156	139	nn0red 11352	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( 0 Ramsey F ) e. RR )
157	156, 37	letri3d 10179	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( ( 0 Ramsey F ) = sup ( ran F , RR , < ) <-> ( ( 0 Ramsey F ) <_ sup ( ran F , RR , < ) /\ sup ( ran F , RR , < ) <_ ( 0 Ramsey F ) ) ) )
158	79, 155, 157	mpbir2and 957	1 |- ( ( ( R e. V /\ R =/= (/) /\ F : R --> NN0 ) /\ E. x e. ZZ A. y e. ran F y <_ x ) -> ( 0 Ramsey F ) = sup ( ran F , RR , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117   Ramsey cram 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ram 15705

This theorem is referenced by:  0ram2  15725  ramz  15729