Theorem isinf 8173

Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isinf	|- ( -. A e. Fin -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Distinct variable group:   x, A, n

Proof of Theorem isinf

Dummy variables f m y z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> ( x ~~ n <-> x ~~ (/) ) )
2	1	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) ) )
3	2	exbidv 1850	. . . 4 |- ( n = (/) -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) ) )
4		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x ~~ n <-> x ~~ m ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( x C_ A /\ x ~~ m ) ) )
6	5	exbidv 1850	. . . 4 |- ( n = m -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> E. x ( x C_ A /\ x ~~ m ) ) )
7		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
8	7	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( n = suc m /\ x = y ) -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x ~~ n <-> y ~~ n ) )
10		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( n = suc m -> ( y ~~ n <-> y ~~ suc m ) )
11	9, 10	sylan9bbr 737	. . . . . 6 |- ( ( n = suc m /\ x = y ) -> ( x ~~ n <-> y ~~ suc m ) )
12	8, 11	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( n = suc m /\ x = y ) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
13	12	cbvexdva 2283	. . . 4 |- ( n = suc m -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
14		0ss 3972	. . . . . 6 |- (/) C_ A
15		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
16	15	enref 7988	. . . . . 6 |- (/) ~~ (/)
17		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
18		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x ~~ (/) <-> (/) ~~ (/) ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) ~~ (/) ) ) )
20	15, 19	spcev 3300	. . . . . 6 |- ( ( (/) C_ A /\ (/) ~~ (/) ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) )
21	14, 16, 20	mp2an 708	. . . . 5 |- E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) )
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) )
23		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ x <-> ( A \ x ) = (/) )
24		eqss 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A <-> ( x C_ A /\ A C_ x ) )
25		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = A -> ( x ~~ m <-> A ~~ m ) )
26	25	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = A /\ x ~~ m ) -> A ~~ m )
27		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. om /\ A ~~ m ) -> E. m e. om A ~~ m )
28	26, 27	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ ( x = A /\ x ~~ m ) ) -> E. m e. om A ~~ m )
29		isfi 7979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. Fin <-> E. m e. om A ~~ m )
30	28, 29	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. om /\ ( x = A /\ x ~~ m ) ) -> A e. Fin )
31	30	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = A /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> A e. Fin ) )
32	24, 31	sylanbr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x C_ A /\ A C_ x ) /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> A e. Fin ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ A /\ A C_ x ) -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> A e. Fin ) ) )
34	23, 33	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ A /\ ( A \ x ) = (/) ) -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> A e. Fin ) ) )
35	34	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ x ) = (/) -> ( x C_ A -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> A e. Fin ) ) ) )
36	35	3impd 1281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ x ) = (/) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> A e. Fin ) )
37	36	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( ( A \ x ) = (/) -> A e. Fin ) )
38	37	con3d 148	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( -. A e. Fin -> -. ( A \ x ) = (/) ) )
39		bren 7964	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ~~ m <-> E. f f : x -1-1-onto-> m )
40		neq0 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( A \ x ) = (/) <-> E. z z e. ( A \ x ) )
41		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. ( A \ x ) -> z e. A )
42	41	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. ( A \ x ) -> { z } C_ A )
43		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x C_ A /\ { z } C_ A ) <-> ( x u. { z } ) C_ A )
44	43	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x C_ A /\ { z } C_ A ) -> ( x u. { z } ) C_ A )
45	42, 44	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ z e. ( A \ x ) ) -> ( x u. { z } ) C_ A )
46	45	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( x u. { z } ) C_ A )
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- z e. _V
48		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- m e. _V
49	47, 48	f1osn 6176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { <. z , m >. } : { z } -1-1-onto-> { m }
50	49	jctr 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : x -1-1-onto-> m -> ( f : x -1-1-onto-> m /\ { <. z , m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) )
51		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( A \ x ) -> -. z e. x )
52		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
53	51, 52	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( A \ x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
54		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. om -> Ord m )
55		orddisj 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Ord m -> ( m i^i { m } ) = (/) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. om -> ( m i^i { m } ) = (/) )
57	53, 56	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) -> ( ( x i^i { z } ) = (/) /\ ( m i^i { m } ) = (/) ) )
58		f1oun 6156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f : x -1-1-onto-> m /\ { <. z , m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) /\ ( ( x i^i { z } ) = (/) /\ ( m i^i { m } ) = (/) ) ) -> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) )
59	50, 57, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f : x -1-1-onto-> m /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) )
60		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- suc m = ( m u. { m } )
61		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( suc m = ( m u. { m } ) -> ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m <-> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m <-> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) )
63		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- f e. _V
64		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- { <. z , m >. } e. _V
65	63, 64	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f u. { <. z , m >. } ) e. _V
66		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( f u. { <. z , m >. } ) -> ( g : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m <-> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m ) )
67	65, 66	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m -> E. g g : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m )
68		bren 7964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x u. { z } ) ~~ suc m <-> E. g g : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m )
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
70	62, 69	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
71	59, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f : x -1-1-onto-> m /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
72	71	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
73		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. _V
74		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { z } e. _V
75	73, 74	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x u. { z } ) e. _V
76		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x u. { z } ) -> ( y C_ A <-> ( x u. { z } ) C_ A ) )
77		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x u. { z } ) -> ( y ~~ suc m <-> ( x u. { z } ) ~~ suc m ) )
78	76, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x u. { z } ) -> ( ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) <-> ( ( x u. { z } ) C_ A /\ ( x u. { z } ) ~~ suc m ) ) )
79	75, 78	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x u. { z } ) C_ A /\ ( x u. { z } ) ~~ suc m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) )
80	46, 72, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) )
81	80	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
82	81	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ x ) -> ( m e. om -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
83	82	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z z e. ( A \ x ) -> ( m e. om -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
84	40, 83	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( A \ x ) = (/) -> ( m e. om -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
85	84	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
86	85	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : x -1-1-onto-> m -> ( x C_ A -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
87	86	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> m -> ( x C_ A -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
88	39, 87	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( x ~~ m -> ( x C_ A -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
89	88	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ A -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
90	89	3imp 1256	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
91	38, 90	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
92	91	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
93	92	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
94	93	com3l 89	. . . 4 |- ( m e. om -> ( -. A e. Fin -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
95	3, 6, 13, 22, 94	finds2 7094	. . 3 |- ( n e. om -> ( -. A e. Fin -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
96	95	com12 32	. 2 |- ( -. A e. Fin -> ( n e. om -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
97	96	ralrimiv 2965	1 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   Ord word 5722   suc csuc 5725   -1-1-onto->wf1o 5887   omcom 7065   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fineqvlem  8174  isinffi  8818  domtriomlem  9264  ishashinf  13247